su
~_{(x)= L(uB)u}~_(x)

Nous utiliserons en permanence cette méthode de décomposition en modes propres.

Si u_Best stationnaire et indépendant de variables spatiales x et z par

exemple, L_mestautonome en x, z, t. Par exemple l'écoulement de Poiseuille ne dépend

ni de x ni de z ni de t. Si on cherche les modes tels que
u^~= e^{i(kx + bz)}e^stU(y)

Ces solutions vérifient le système aux v.p.

sU(y) = L(u_B,k,b)U(y)

Cette procédure permet de réduire la résolution d'un PDE à un problème aux valeurs

propres à une seule dimension d'espace.

Chacun des modes propres varie exponentiellement avec un taux de croissance s(m,k,b).

L'ensemble des s pour tous les nombres d'onde k, b mais à paramètres de contrôle fixés

forme le spectrede l'opérateur linéarisé. Le maximum noté g(m) des parties réelles des

valeurs propres sdu spectrepermet de conclure quant à la stabilité de l'écoulement de

base associé. Si g(m) est strictement positif (resp. strictement négatif) l'écoulement est

instable (resp. stable).

NB Ce que nous avons fait dans l'exemple précédent n'est ni plus ni moins qu'une

décomposition de Fourier et le calcul du spectresans le dire

s_n= m-(-(np/L)²+1)²

6.1 Cas possibles:
On trace le lieu des valeurs de s_npour tous les paramètres: on observe les configurations

suivantes:

c28 Décembre 1997p 17