Par exemple:

premier cas

dx/dt=lx + x².

Le point fixe est x=0, si on linéarise

* dx/dt=lxl>0 (<0)instable (stable)

* si l=0, linéairement il ne se passe rien.

En revanche, pour le système nonlinéaire: dx/dt = x². Une perturbation s'éloigne à l'infini
pour x positif à droite, mais le système tend vers le point fixe x=0 si initialement on se

trouve en x négatif.

deuxième cas

Examinons maintenant

dx/dt=lx - x³.

- Sil>0 (<0) : linéairementinstable (stable)

- Sil=0,la linéarisation ne suffit pas, cela dépend du terme nonlinéaire.

dx/dt = -x³= -x²x
D'une manière un peu rapide, on peut parler d'un taux d'accroissement non linéaire et

négatif. Dans ce cas le point fixe x=0 est stable

conclusion
Si le spectre de l'opérateur linéarisé ne contient pas de valeurs propres l=0 ou de partie
réelle nulle, la linéarisation permet de comprendre l'évolution d'une perturbation de faible
amplitude (Théorème de Hartmann Grotman). S'il existe des valeurs propres de partie

réelle nulle, la linéarisation ne suffit pas pour étudier la dynamique.

Si l'écoulement est linéairement stable une perturbation de faible amplitude vérifiant le

système général décroît.

Si l'écoulement est linéairement instable, une perturbation de faible amplitude augmente
d'abord exponentiellement, en accord avec le système linéarisé. Lorsque l'amplitude est
trop grande, on sort du domaine de validité de l'équation linéarisée, les termes
nonlinéaires ne sont plus négligeables et peuvent saturer l'amplitude des perturbations. Le
système choisit alors un nouvel état qui devient le nouvel état de base. On parle de

bifurcation.

c28 Décembre 1997p 5