Exemple ^{n [!]2U,[!][!]U=0,}

[!][!]u=0

Les symétries de l'état de base sont importantes: si x n'apparaît pas dans U₀cela simplifie
l'étude du problème linéarisé puisque cette variable n'apparaît pas explicitement dans
l'opérateur. On peut alors utiliser de manière efficace les outils puissants de l'analyse de

Fourier.

Le système linéarisé est par exemple autonome si la solution de base est stationnaire.

iii) Pour un système avec deux degrés de liberté et une solution de base stationnaire, on

aboutit à un système matriciel à coefficients indépendants du temps:

[!]dx/dt [!]= [!]ab

[!]dy/dt [!]= [!]cd

[!][!]x[!]

[!][!]y[!]

Après diagonalisation de la matrice:

[!]dx/dt[!]= [!]l0[!][!]x[!]

[!]dy/dt[!]= [!]0 m[!][!]y[!]

iii-a) Si les deux valeurs propres sont réelles négatives, x et y tendent vers 0
exponentiellement, l'orbite revient vers ce point fixe qui est donc stable. On trace le
diagramme associé, ici dans la base des vecteurs propres. Il y a un "centre"/ foyer point
fixe stable (sur le dessin les axes sont perpendiculaires pour simplifier la représentation,

mais c'est un cas particulier)

iii-b) si let msont positifs on change le sens des flèches... C'est un point fixe instable.

c28 Décembre 1997p 3