1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Cette équation est une équation modèle qui ne provient pas de l'étude d'un phénomène
physique, cependant son comportement rappelle l'instabilité de Rayleigh Bénard: par
chauffage on passe d'une solution stationnaire de repos à une solution encore stationnaire
mais structurée (en hexagones ou en rouleaux...) avec une fréquence spatiale précise. Ce

modèle est issu de l'équation dite de Swift-Hohenberg.


5.2 Décomposition en modes


Les conditions aux limites sont automatiquement satisfaites si on cherche la solution sous

la forme de ladécomposition suivante en séries de Fourier:

u =SAn(t)sin(npx/L) pour 1<=n<=[!].

Il y a donc un nombre infini de degrés de liberté. On va obtenir par substitution un

système de la forme:

dAn/dt
= F
n(A1, ...,An)

En introduisant l'expression de la série dans l'équation SH et après quelques
manipulations (on utilise en particulier l'identitésin(a+b)+sin(a-b)=2sina cos b eton

modifie astucieusemnt les indices dans les sommes ) il vient

S1[!]dAn(t)/dt sin(npx/L) =

S1[!](m-((np/L)2+1)2)An(t) sin(npx/L)+

a/2S2[!]An-1sin(npx/L)+

a/2
S
1[!]An+1sin(npx/L)+

b S1[!]np/(2L)sin(npx/L) [Sp=1[!]An+pAp] - b S1[!]sin(npx/L) [Sp=1n-1An-pAp pp/(2L)]
C'est l'équation complète qui a été réécrite. Cette égalité impose une infinité d'équations

différentielles ordinaires pour les variables A
n, qui sont:
dA
n(t)/dt sin(npx/L) =

(
m-((np/L)2+1)2) An(t) sin(npx/L)+a/2An-1sin(npx/L)+a/2An+1sin(npx/L)+
[!]n-1
bnp/(2L)sin(npx/L) [SAn+pAp] - b S1[!]sin(npx/L) [SAn-pAp pp/(2L)].

p=1p=1


5.3 Cas Particuliers


i) si

a=b=0


ce système est uniquement linéaire etles équations sontdécouplées:

dAn(t)/dt = (m-((np/L)2+1)2)An(t)

=> c'est facile, Anne dépend que du même mode n. On a en fait décomposé sur une

"base de modes normaux".


c28 Décembre 1997p 14

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