Remarquer l'écart en racine: (r-1)^1/2, c'est à dire en (r-r_critique)^1/2, caractéristique d'une

bifurcation supercritique.

La symétrie du système relie ces deux solutions.

étude de la stabilité des points fixes:
Soit x=y=(b(r-1))^1/2,z=r-1, un des points fixes (l'évolution de l'autre se déduit par
symétrie), la linéarisation autour de ce point du système de Lorenz conduit à un système

linéaire dont oncherche des solutions en e^lt. Il faut résoudre à nouveau un problème aux

valeurs propres:

-l- ss0

det1-l-1-(b(r-1))^1/2

(b(r-1))^1/2(b(r-1))^1/2-l-b

i.e.

=0

-(l^{3 +}l² (s+b+1) + l b(r+s) - 2 sb(1-r)) = 0.

On obtient trois valeurs propres.
On peut démontrer qu'elles sont réelles et négatives, puisque deux d'entre elles deviennent
complexes conjuguées de partie réelle négative jusqu'à une valeur de rcritique= 24,74

(pour les valeurs canoniques b=8/3 s=10) pour laquelle on a une bifurcation de Hopf

souscritique.

application numérique:

x y et z en fonction de t, départ du point fixe précédent vers la nouvelle position d'équilibre.

c28 Décembre 1997p 23