PYL 12/10- AJ 2017 www.lmm.jussieu.fr/~lagree Enoncé et corrigé de la PC ENSTA MF204

PC n°1, Résolution de l'équation de la chaleur

Cette page propose la résolution de l'équation de la chaleur 1D dans le cas du problème de la trempe (facteur d'échange infini puis quelconque) à l'aide de gerris et de FreeFem++ (mise en oeuvre avec FreeFem++).

Le problème de départ est la résolution de l'équation de la chaleur en 1D, la température est donnée (puis une relation entre le flux et la température) en x=-1 et en x=1.
On résout en fait avec la condition adiabatique en x=0 (condition de symétrie) et l'autre condition en x=1. On consultera la PC pour plus de détails sur les notations et la technique de résolution (lire aussi le cours conduction et aussi l'autre cours de conduction pour plus d'informations sur l'équation de la chaleur instationnaire avec la définition du nombre de Biot).

Le problème est ramené à une résolution 2D en imposant une condition adiabatique en haut et en bas.
 

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Le problème est donc la résolution de l'équation de la chaleur :

avec: à t=0, T=1.
Conditions adiabatique en x=0 (condition de symétrie) en haut (y=1) et en bas (y=0).
La condition en x=1 varie suivant les cas (température imposée ou condition mixte).

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Mise en oeuvre de gerris:
Le script run.sh lance la série de calculs les uns après les autres.
Le fichier gerris est pc1_fourier.gfs.
Le fichier gfsview est v.gfv.
Les courbes suivantes sont obtenues par gnuplot grâce au script.

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Les différents cas parcourus par le script sont:

• Adiabatique à gauche et température imposée en x=1, pour se ramener à la solution analytique classique, on étudie la pénétration de la température de la paroi vers l'intérieur, et on redéfinit 1-x comme étant x
  
  et température imposée en x=0, soit T(t,x=0)=0, la solution est autosemblable et on obtient
  
  Bien entendu, cette solution n'est valable qu'aux temps courts (tracé de la solution autosemblable en vert et de gerris en rouge dans la variable de similitude).
  
  
  

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• De même lorsque qu'une condition avec un facteur d'échange est imposée, la condition à la paroi est (x redéfini x=0) est
  
  c'est une condition mixte. Cette condition est appelée aussi condition de Robin, elle est aussi appelée condition de Navier. La solution analytique est:
  
  Bien entendu, cette solution n'est valable qu'aux temps courts (d'où l'erreur sur certaines courbes), aux temps longs on repasse en somme infinie de cos et exponentielle.


• le cas Bi=1000 est comparé à la fonction erf, aux temps courts t<0.15
  
  
• le cas Bi=10., aux temps courts t<0.15
  
  
• le cas Bi=1.
  

  aux temps courts t<0.15

  aux temps plus longs (mais t<1) comparaison avec 4 modes, pour 0<x<1

  et enfin la température au centre T(0,t)

  
  
  
• le cas Bi=0.1, aux temps courts t<0.15
  
  

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Mise en oeuvre de FreeFem++ dans le cas adiabatique à gauche, en haut et en bas.

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OK 12/2010, page ouaibe de cette page http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/ENSTA/HTMLPC/PC1/index.html

voir pages gerris:
http://gfs.sourceforge.net/wiki/index.php/Flux_bc1