Ecoulement avec Erosion et Sédimentation sur un fond meuble

c 07/03 à j 05/05; 10/07
(Lagrée P.-Y.), LMM-Univ PARIS 6, B 162,
4 place Jussieu, 75252 PARIS
pyl(a)ccr.jussieu.fr
http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/TEXTES/SEDIM/DUNES/dunes.html

dunes numériques, sie kommen!!!

Mécanisme simplifié

Il s'agit d'une interaction entre un écoulement et le fond érodable sur lequel il s'écoule: la forme du fond gouverne l'écoulement, ce dernier modifie la forme du fond par érosion et sédimentation.
Ce problème interactif couplé, très compliqué, est simplifié en supposant que l'écoulement est quasistationnaire (la variation de la forme du fond en fonction du temps est supposée lente).
Donc, on travaille à l'échelle de temps lente, à chaque instant (dans cette échelle lente), la forme du fond est fixée, l'écoulement est calculé. Comme les phénomènes d'interaction fluide/sol se produisent par définition près de la paroi, le frottement pariétal est évalué.
C'est le frottement pariétal qui provoque l'érosion, les sédiments sont emportés par l'écoulement dans la couche limite. Ils se redéposent ensuite plus loin, modifiant ainsi la forme du fond... et à l'instant suivant, le fond est donc différent... on continue...
Un exemple de résultat est montré sur l'animation ci dessus. Le fluide va de de gauche à droite sur ce dessin animé, le domaine est périodique, ce qui sort à gauche rentre à droite.
 
En pratique nous proposons un calcul de l'écoulement 
sur une topographie "f" par l'approximation de "triple couche" (Triple 
Deck).

la forme du fond "f" donne "τ" (tau) le frottement pariétal

puis on calcule le flux de matière (conservation de la matière 
dans l'écoulement) qui est écrit de la manière suivante:

     ∂q
     -- + V q = Ar 
     ∂x  

Le terme ∂q/∂x traduit la variation du flux de matière dans le fluide.
La quantité de matière dans le fluide varie par perte par sédimentation V q  et par gain par
érosion Ar.  En général dans la littérature on écrit que q et Ar sont 
proportionnels et  le terme d'inertie ∂q/∂x est oublié.


Il est supposé de plus que le terme Ar se comporte avec un effet de seuil sur le cisaillement:
      * si τ>τs alors  Ar = τ-τs
      * si τ<τs alors  Ar = 0

Ensuite on modifie le profil du fond (par conservation de la masse dans le sol):

     ∂f     ∂q
     -- = - --
     ∂t     ∂x
flux
Attention, suivant ce que l'on met dans les équations, i.e. suivant le modèle de fluide choisi, ou suivant le modèle de sédimentation/ érosion, on obtient des résultats très différents...
Par exemple, suivant le régime de l'écoulement, on peut avoir des antidunes qui remontent le courant.


Nous avons montré que:
- un écoulement fluivial dans le cadre de la couche limite interactive ne permet pas à une dune d'avancer (c.f. CRAS 2000 n° 1. et congrès EFMC 2000 n°2).
- dans le cadre d'écoulements sur des petites bosses résolus en triple couche, en général, un sol meuble est instable. Cette instabilité est liée au fait que le frottement pariétal est maximum légèrement en amont du sommet de la bosse. Au fur et à mesure du temps les rides croissent en largeur et en hauteur par accrétion avec leurs voisines (c.f. poster funsand n°3 et Physics of Fluids n°7), il y en a de moins en moins.
- ce phénomène de "coarsening" finit par s'arrêter lorsque l'écoulement dans la sous couche limite perturbe le fluide parfait loin du sol (Physics of Fluids n°7): le nombre de dunes reste constant.
- dans le cas où Re=0, et dans le cas où Re=infini (en négligeant complètement la couche limite!), le sol est stable (car justement le frottement pariétal est maximum au sommet de la bosse). Mais les équations sont dispersives: un tas de sable initial va être décomposé en un train de rides (par l'intermédiaire d'une équation de Benjamin Ono linéaire, c.f. CRAS 2003 n°5 et CFM n°6). Une animation mpg, avi ou mov montre la dispersion d'un tas initial en un train de rides (on montre en plus que cette solution est autosemblable CRAS 2003 n°5).

Publications sur le sujet

  1. Lagrée CRAS 2000.
  2. Lagrée poster EFMC 2000.
  3. Lagrée Workshop (2001)
  4. Lagrée (2001): GDR MiDi 02/03/01
  5. Lagrée Kouakou Danho CRAS 2003.
  6. Kouakou, Caps, Lagrée CFM 03
  7. Lagrée Physic of Fluids 2003.
  8. Kouakou Lagrée , "Workshop on dunes and sand transport", Carry le Rouet 9-11/06/2004.
  9. Lagrée Kouakou, "Workshop on dunes and sand transport", Carry le Rouet 9-11/06/2004.



Acceptés
  1. Kouakou Lagrée modèle de dune sur fond non érodable dans le cas d'un écoulement cisaillé
  2. Kouakou Lagrée stabilité d'un fond érodable

Cas Hele Shaw....
(dunesdelphine.html et HLC/resultsHLC_rennes.html et HLC/DUNES/dunesdelphine.html et HLC07/duneHLC07.mov)

Animation avec d'Alembert ;-)