c 23/02/04 àj 01/11
(Lagrée P.-Y.), LMM-Univ PARIS 6,
B 162,
4 place Jussieu, 75252 PARIS
pyl@ccr.jussieu.fr
http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/SIEF/SIEF97/THEO/Mascaretheo.htmlSur cette page il y aura bientôt des explications
sur le
déroulement des équations. On expliquera comment
on passe des Equations d'Euler
à surface libre aux équations de Boussinesq (puis
aux équations Shallow Water ou de "Saint
Venant") pour enfin arriver à l'équation KdV
(dans le référentiel qui bouge):
∂h ∂h ∂3h -- + h -- + --- = 0 ∂t ∂x ∂x3
avec les bonnes conditions aux limites...
On présentera ensuite la solution autosemblable (self
similar) des équations de fluide parfait
en faible profondeur et linéarisées qui donnnent
∂h ∂h ∂3h -- + c0 -- + c0(H02/6)--- = 0 ∂t ∂x ∂x3
On a une première échelle rapide qui correspond
on déplcacement de l'onde x-c0t, dans
ce repère on a ensuite une variation lente écrite
sans dimension:
∂h ∂3h -- = --- ∂t ∂x3
cette équation correspond à un petit
ressaut dispersif. On utilise la valeur de hauteur pour
mesurer h qui
est donc sans dimension.
On veut que h varie de 0 à 1 (sans
dimension).
On remarque que si on change t en t* t et x en x*x, h changé
en h*h,
l'invariance de
l'équation différentielle donne t*=x*3 et h*=1.
La solution est écrite sous la forme implicite:
F(h, x*3t,x*x)=0
et donc par l'invariance de la forme F(h, x*3 t,xt
-1/3)=0
pour tout x*.
La deuxième "variable" de F(,,) est inutile, puisque la
fonction est nulle pour tout x*.
Donc la hauteur est fonction de la variable de similititude
η=xt-1/3 uniquement.
De manière explicite: h=H(η)
Donc par composition des dérivations:
∂h --= (-1/3) (η/t) H'(η) ∂t
∂h --- = (1/t) H'''(η) ∂x3
On en déduit l'équation différentielle ordinaire: η H' = - 3 H''', donc H' est la fonction d'Airy:
H'(η) = Ai(-η 3^{-1/3}) par intégration, (le facteur 3 a été introduit car on sait que ∫-∞∞ Ai(ζ) d ζ=1/3) la ha
h = 3 3^{1/3} ∫{-∞}η H'(zeta) d zeta
est alors l'élévation de l'eau.
Ca laisse entendre que l'on peut construire un mascaret linéaire. Le mascaret non linéaire existe, il est dans le Whitham.
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