Ensuite, la bosse s'étant déplacée, la pression est
maximale à son sommet et décroît en descendant à
droite. La pression décroît, donc la vitesse augmente. En
revanche dans la partie gauche, la pression croît de gauche à
droite (jusqu'au sommet): le gradient de pression ralentit le
fluide....
Le résultat est bien entendu le déplacement de l'élévation d'eau.
La résolution numérique des équations calcule quantitativement ces
phénomènes à chaque pas de temps.
Ces équations sont celles de "Saint Venant" (Shallow Water
equations,
elles sont déduites de Navier Stokes...):
La densité du liquide est notée rho (ρ) et g est la gravité.
La vitesse supposée constante dans chaque colonne de fluide est notée u.
La hauteur d'eau totale est h.
Elles sont valables lorsque la profondeur du fluide est plus petite que
l'échelle longitudinale sur laquelle se produit le phénomène, l'amplitude
de la vague pouvant être du même ordre de grandeur que la profondeur.
Dans le cas du soliton que nous examinerons, il ne reste qu'une équation!
Elle est déduite des équations de Navier Stokes sans viscosité en tenant
compte du fait que la profondeur du fluide est plus petite que l'échelle
longitudinale sur laquelle se produit le phénomène mais pas trop (c'est
delta=hauteur/ longueur), et que l'amplitude de la vague est plus petite
que la profondeur (c'est l'epsilon = amplitude sur hauteur). Il s'agit de
l'équation Korteweg de Vries écrite sans dimensions:
Nous proposons maintenant différents types de vagues.
Les variations d'amplitude sont très petites.
Les particules se déplacent circulairement, le "X" représente une
particule d'eau dans son mouvement circulaire (cercle noir).
Elles se déplacent avec une vitesse bien plus petite que la vitesse de
l'onde.
Noter la vitesse de la particule plus petite que la vitesse de l'onde
Noter la longueur d'onde ...
Film sur la Houle en *.mov (M.). (en
*.avi )
Suivant la profondeur, cette trajectoire se déforme.
Le rayon décroît exponentiellement dans le cas d'une profondeur infinie.
Dans le cas de profondeur finie, la trajectoire est une ellipse de plus en
plus aplatie lorsque l'on s'enfonce.
Houle de Gerstner
L'amplitude de la vague augmente: effets non linéaires sur lesquels nous
reviendrons plus tard.
(Elle déferle pour une amplitude égale à la longueur d'onde divisée par
2 Pi).
Film sur la Houle en *.mov (M.)
en *.avi.
Les particules se déplacent circulairement.
C'est une houle parmi les nombreux modèles de houle existants...
Sur le film on observe comment un signal en forme de triangle est obtenu
par sommation de sinus. (Il y en a 30 en tout, on pourrait en mettre
plus...)
Film en *.mov (M.), en *.avi.
Application, dans le cas du signal précédent composé de 4 ondes.
évolution de ce signal si chaque pulsation a une vitesse de phase
différente
( simulation de la propagation de quatre modes du triangle dans un milieu
dispersif)
dispersif.mov
(M.) (*.avi)
Propagation d'une vague dans une eau de profondeur assez faible:
train d'ondes dispersives (non linéarités faibles) obtenues dans la cuve:
ondes dispersives (en *.avi)
onde dont la solution est la
fonction d'Airy? (Vidéo mov).
On compare ce train d'ondes à la déformation d'une vague unique sous
l'action de la dispersion, par simulation numérique (KDV)
ondes dispersives les ondes de petite
longueur d'onde vont moins vite. (KDV.mov)
ondes dispersives (KDV.mpg).
dt=0.001
itmax=100
ittmax=100
nx=256
Lx=15
UN=1
epsilon=.0000
visc=0.00
delta2=.15
Déformation d'une vague, simulation numérique (KDV)
ondes dispersives les hautes fréquences
spatiales vont plus vite que les courtes (effet de tension de
surface...)(KDV en mov).
dt=0.001
itmax=100
ittmax=100
nx=256
Lx=15
UN=1
epsilon=.0000
visc=0.00
delta2=-.15
- Raidissement d'un signal
Si l'amplitude est grande, le haut de la vague va plus vite que le
bas!
Le haut dépasse le bas: c'est le déferlement.
Propagation d'une vague d'assez grande amplitude par rapport à la
profondeur de l'eau (résolution numérique de KDV). Avec la modélisation
simplifiée, le déferlement apparaît comme un raidissement de la vague
raidissement .mov (KDV).
raidissement .mpg (KDV).
dt=0.01
itmax=100
ittmax=10
nx=256
Lx= 15
UN=1
epsilon=.5
visc=0.05
delta2=0
sigma=.0
ilarge=0
Déferlement (non linéarités fortes), observations dans la cuve du Palais:
déferlement (Vidéo mov)
déferlement (Vidéo avi)
déferlement (Vidéo mov)
déferlement (Vidéo avi)
Déferlement simulé numériquement par résolution des équations en
eau peu profonde (Saint Venant) ( au format MPEG (*.mpg) ).
déferlement
dt=.001 itmax=80 ittmax=50 dx=.005 nx=2000 eps=1 delta=0.0 pulse=5
On peut observer ce phénomène dans un lavabo (ressaut fixe). Le ressaut
mobile sera vu lors du mascaret.
Déferlement par variation de profondeur:
déferlement (Vidéo)
déferlement (Vidéo)
FILMS au format QuickTime (*.mov)
départ du soliton, premier passage:
soliton gauche -> droite (Vidéo
mov)
soliton gauche -> droite (Vidéo
avi)
retour du soliton après réflexion sur la paroi.
soliton retour, droite -> gauche
(Vidéo mov)
soliton retour, droite -> gauche
(Vidéo avi)
Un soliton (en mpg) dans le repère mobile
dt=.001 nx=128 Lx=10 UN=0 epsilon=.6666 visc=.00 delta2=0.666666
Noter que dans ces animations, le choix des échelles est malheureux:
l'amplitude est exagérée vis à vis de l'échelle longitudinale. De même
l'échelle de temps est plus lente!
Un soliton dans le repère fixe (KDV
mov).
Un soliton dans le repère fixe (KDV
mpg).
dt=0.001
itmax=100
ittmax=100
nx=256
Lx=15
UN=1
epsilon=.5
visc=0.00
delta2=0.5
sigma=.0