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créé 11/06

Les Rendez Vous Spatiaux vus par PYL, c'est spécial!!!
On travaille dans le plan de la trajectoire de la cible (on oublie z, que l'on peut rajouter sans peine car l'équation est découplée).

Le vaisseau cible ("S" comme Soyouz) tourne autour de la terre sur une orbite circulaire, on écrit que son accélération est égale à la force de graviation de Newton. 

Dans le repère lié à la cible, la position du vaisseau chasseur ("A" comme Apollo) est x et y.
L'accélération ressentie dans ce repère relatif est donc l'accélération précédente plus la partie Coriolis, plus la partie liée à la rotation du référentiel.
La force subie par le vaisseau A est la force de Newton estimée au point A.

La développement entre la force en S et en A qui est très proche (par rapport au centre de la terre) donne des termes linéaires dans les équations.


 

Lorsque l'on met tout cela en équations on obtient au bout du compte les équations de Hill CLOHESSY-WILTSHIRE
En fait, les équations de Hill seraient issues du système précédent en ajoutant en plus la force d'attraction de la cible, en supposant qu'elle est faible mais pas nulle et en supposant que la distance Terre-cible (donc ici Terre-Lune) grande. Les équations sont appropriées pour calculer les trajectoires d'un vaisseau autour de la Lune. lorsque l'on fait tendre vers 0 la masse de la cible, on obtient les équations de Clohessy-Wiltshire.

La position et la vitesse relative r = xex + yey et vr = xex + yey
La vitesse absolue est la somme de la vitesse d’entraînement et de la vitesse relative : va = ve + vr
L’accélération absolue γa est la somme de l’accélération d’entraînement, de l’accélération relative et de l’accélération de Coriolis

γa = γe + γr + γc
avec γc = 2ω × r et γr = x′′ex + y′′ey
La vitesse et l’accélération d’entraînement sont celles d’un mouvement circulaire, soit : ve = ω × r
L’accélération d’entraînement est exactement l’accélération du vaisseau cible. C’est donc la valeur de la force de Newton :

γe = -GM∕(R2)ex et on a ω2 = (GM∕R3)
or l’accélération d’entraînement est par définition

γe = dt × r + ω × ve avec ω = (GM∕R3)12 constante.
tandis que l’accélération de Coriolis est :

γc = 2(-ωyex + ωxey) et ω × (ω × r) = -ω2xex - ω2yey

Mais, l’accélération absolue est la force de Newton appliquée sur le vaisseau chasseur :
γa = -GM((R + x)ex + yey)((R + x)ex + yey)3

On obtient donc le développement de :
γa - γe = GM(Rex∕R3 - ((R + x)ex + yey)((R + x)ex + yey)3 or

((R + x)ex + yey)((R + x)ex + yey)3 =
= (1∕R2)(1 + (x∕R)ex + (y∕R)ey)(1 - (32)(2x∕R) + ...)
ce qui nous donne :
γa - γe = -(GM∕R3)((1 - 3)xex + yey) + ... = -ω2(-2xex + yey) + ...

On a ainsi l’accélération relative :
x′′ex + y′′ey = -(ω2(-2xex + yey) + ...) - 2(-ωyex + ωxey) + ω2xex + ω2yey

d’où les équations finales à résoudre :

x′′ = 2ωy+ 3ω2x et y= -2ωx

La solution générale est obtenue en remarquant que
x′′′ = -4ωx+ 3ω2xsoit (x)′′ω2(x)
soit x = B1cos(ωt) + B2sin(ωt) + B3
Substitué dans la deuxième y = C1 + tC2 + 2B2cos(ωt) - 2B1sin(ωt)

Puis, en écrivant que x(0) = x0,y(0) = 0,x(0) = u0,y(0) = v0, on obtient tout simplement :
x(t) = (2v0∕ω + 4x0) - (2v0∕ω + 3x0)cos(ωt) + u0∕ωsin(ωt)
y(t) = (-2u0∕ω + y0) - (3v0 + 6ωx0)t + 2u0∕ωcos(ωt) + (4v0∕ω + 6x0)sin(ωt)


Quelques exemples, de gauche à droite (vus de différentes hauteurs) 

1) x0=y0=0, u0=-1, v0=0 (on va sur la gauche, Coriolis fait tourner à droite, l'orbite est un cercle), 

2) x0=y0=0, u0=0, v0=1 (on va vers l'avant, puis on recule!) 

3) x0=y0=0, u0=0 v0=-1 (on recule puis on va vers l'avant)




Pour aller plus loin

A titre d'exercice (c.f. J. Kevorkian & J.D. Cole, Perturbation Methods in Applied Mathematics, Springer (1981)), on pourra établir les vraies équations de Hill. Il s'agit donc du mouvement d'un vaisseau près de la Lune (et perturbé par la Terre).
C'est bien entendu une variante du fameux problème à "Trois Corps".

Si on appelle μ la masse réduite, on obtient les équations adimensionnées suivantes pour x et y:
x′′ = -μx/(x^2+y^2)^(3/2) + 2 y′ +3x
y′′ = -μy/(x^2+y^2)^(3/2) - 2 x′.

à l'échelle μ^(1/3) pour x et y on a par moindre dégénérescence le système le plus complet: les équations de Hill.
Si on reste à l'échelle 1, et que l'on fait tendre μ vers 0 on obtient les équations de Clohessy -Wiltshire.