La science en f�te
au Palais de la D�couverte

Vagues, effets non linéaires et dispersifs!


10 11 et 12 Octobre 1997


http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/SIEF/SIEF97/sieft97.html













A propos des animations:
Elles sont au formats "MPEG" et/ou en "Quick Time Movie"... c'est � dire en *.mpg et *.mov. Elles sont lisibles par tout bon ordinateur dont Mac (mais c'est un pl�onasme), mais m�me sur PC, � condition de le configurer s�rieusement, voire sur Station Unix.
Config Mac: Netscape Lecture Quick Time et Sparkle.
Ces animations sont de diff�rentes sources:
certaines sont faites avec "Mathematica" (not� M.)
certaines sont des films vid�o num�ris�s (not� Vid�o)
certaines sont des calculs FFT de r�solution de l'�quation KDV (not� KDV)
certaines sont des calculs par diff�rences finies de Saint Venant (not� SV)
certaines sont des calculs Navier Stokes par code ad hoc (not� NS)
Pour en savoir plus sur les animations qui vont suivre (qui ont �t� pr�sent�es lors de la science en f�te au Palais de la découverte), consulter les pages Oueb de leurs auteurs dans le corps du texte.




d�finitions
Onde:
perturbation qui se propage.
ex: ondes sonore (perturbation de la pression de l'air), onde sur la corde vibrante (d�formation d'une corde tendue), ondes �lectromagn�tiques (perturbation des champs �lectrique et magn�tique).

Vague:
Perturbation de la surface de l'eau qui se propage.

Houle:
Vague en profondeur infinie (loin de la c�te et de la source).

Vitesse du fluide et vitesse de phase
Il faut bien diff�rencier la vitesse de la particule de la vitesse de l'onde. Cette premi�re est bien la vitesse associ�e au d�placement d'un petit volume d'eau, tandis que la seconde est la vitesse � laquelle on a l'"impression" que la vague avance.

d�ferlante
...

mascaret


Soliton




Propagation de vagues
M�canisme, les �quations compl�tes sont compliqu�es: ce sont les �quations de navier Stokes. Elles prennent en compte l'incompressibilit� de l'air et de l'eau, les conservations de quantit�s de mouvement sous l'action des forces de pression, de gravit�, de viscosit� et de tension de surface. Les r�solutions num�riques que nous proposerons seront fond�es sur des �quations simplifi�es d�duites des pr�c�dentes en tenant compte du fait que certains termes peuvent �tre n�glig�s.
En gros, si on s'int�resse au ressaut il ne reste que deux �quations.
Premi�rement, il reste l'�quation de conservation du volume: si on pousse l'eau, elle monte. Deuxi�mement il reste l'�quation de conservation de quantit� de mouvement longitudinale: si on a fait monter de l'eau la gravit� la fait redescendre et sur son �lan elle repousse l'eau qui ...


M�canisme de la Propagation de vagues
Plus pr�cisement, examinons une vague � un instant t, par conservation du d�bit, l� o� la vitesse augmente la vague est �tir�e: elle s'amincit. En revanche l� o� la vitesse diminue, il y a augmentation du niveau. La bosse de d�place sur la droite.


Ensuite, la bosse s'�tant d�plac�e, la pression est maximale � son sommet et d�cro�t en decendant � droite. La pression d�cro�t, donc la vitesse augmente. En revanche dans la partie gauche, la pression cro�t de gauche � droite (jusqu'au sommet): le gradient de pression ralentit le fluide....


La r�solution num�rique calcule quantitativement ces ph�nom�nes � chaque pas de temps.


Ces �quations sont celles de Saint Venant (Shallow Water equations):


La densit� du liquide est not�e rho et g est la gravit�.
Elles sont valables lorsque la profondeur du fluide est plus petite que l'�chelle longitudinale sur laquelle se produit le ph�nom�ne, l'amplitude de la vague pouvant �tre du m�me ordre de grandeur que la profondeur.


Dans le cas du soliton que nous examinerons, il ne reste qu'une �quation! Elle est d�duite des �quations de Navier Stokes sans viscosit� en tenant compte du fait que la profondeur du fluide est plus petite que l'�chelle longitudinale sur laquelle se produit le ph�nom�ne mais pas trop (c'est delta=hauteur/ longueur), et que l'amplitude de la vague est plus petite que la profondeur (c'est l'epsilon = amplitude sur hauteur). Il s'agit de l'�quation Korteweg de Vries �crite sans dimension:





Nous proposons maintenant diff�rents types de vagues.



Houle lin�aire: Houle d'Airy

l'amplitude est beaucoup plus petite que la longueur d'onde. La profondeur est ici bien plus grande que la longueur d'onde.




Les variations d'amplitude sont tr�s petites.
Les particules se d�placent circulairement.
Elles se d�placent avec une vitesse bien plus petite que la vitesse de l'onde.
Noter la vitesse de la particule plus petite que la vitesse de l'onde
Noter la longueur d'onde ...
Film sur la Houle en *.mov (M.).

Suivant la profondeur, cette trajectoire se d�forme.
Le rayon d�cro�t exponentiellement dans le cas d'une profondeur infinie. Dans le cas de profondeur finie, la trajectoire est une ellipse de plus en plus aplatie lorsque l'on s'enfonce.


Houle de Gerstner

L'amplitude de la vague augmente: effets non lin�aires sur lesquels nous reviendrons plus tard.
(Elle d�ferle pour une amplitude �gale � la longueur d'onde divis�e par 2 � ).


Film sur la Houle en *.mov (M.).
Les particules se d�placent circulairement.
C'est une houle parmi les nombreux mod�les de houle existants...




d�composition d'un signal en somme d'ondes

Tout signal peut se d�composer en une somme d'ondes sinuso�dales. D'o� l'int�r�t d'�tudier les ondes sinuso�dales.


Sur le film on observe comment un signal en forme de triangle est obtenu par sommation de sinus. (Il y en a 30 en tout, on pourrait en mettre plus...)
Film en *.mov (M.).





deux effets qui modifient la forme des vagues
- la Dispersion
Si les ondes se d�placent � la m�me vitesse, le signal est inchang�.
Exemple: simulation de la propagation de quatre modes du triangle dans un milieu non dispersif:
inchang�.mov (M. en mov)

Si les ondes ne se d�placent pas � la m�me vitesse, le signal est modifi�.
Le ph�nom�ne est bien connu en optique: il donne lieu � la d�composition de la lumi�re dans un prisme et aux couleurs de l'arc en ciel.
En acoustique (ondes sonores), il n'y a pas de dispersion, c'est pour cela que l'on s'entend si bien!
Dans le cas des vagues sur la mer, la longueur d'onde diminue lorsque l'on se rapproche du rivage (la profondeur diminue).


Application, dans le cas du signal pr�c�dent compos� de 4 ondes.


�volution de ce signal si chaque pulsation a une vitesse de phase diff�rente
( simulation de la propagation de quatre modes du triangle dans un milieu dispersif) dispersif.mov
(M.).

Propagation d'une vague dans une eau de profondeur assez faible: train d'ondes dispersives (non lin�arit�s faibles) obtenues dans la cuve:
ondes dispersives


onde dont la solution est la fonction d'Airy? (Vid�o mov).

On compare ce train d'ondes � la d�formation d'une vague unique sous l'action de la dispersion, par simulation num�rique (KDV)


ondes dispersives les ondes de petite longueur d'onde vont moins vite. (KDV.mov)
ondes dispersives (KDV.mpg).
dt=0.001 itmax=100 ittmax=100 nx=256 Lx=15 UN=1 epsilon=.0000 visc=0.00 delta2=.15




D�formation d'une vague, simulation num�rique (KDV)
ondes dispersives les hautes fr�quences spatiales vont plus vite que les courtes (effet de tension de surface...)(KDV en mov).
dt=0.001 itmax=100 ittmax=100 nx=256 Lx=15 UN=1 epsilon=.0000 visc=0.00 delta2=-.15


- Raidissement d'un signal

Si l'amplitude est grande, le haut de la vague va plus vite que le bas!
Le haut d�passe le bas: c'est le d�ferlement.


Propagation d'une vague d'assez grande amplitude par rapport � la profondeur de l'eau (r�solution num�rique de KDV). Avec la mod�lisation simplifi�e, le d�ferlement appara�t comme un raidissement de la vague
raidissement .mov (KDV).
raidissement .mpg (KDV).
dt=0.01 itmax=100 ittmax=10 nx=256 Lx= 15 UN=1 epsilon=.5 visc=0.05 delta2=0 sigma=.0 ilarge=0

D�ferlement (non lin�arit�s fortes), observations dans la cuve du Palais:
d�ferlement (Vid�o)


d�ferlement (Vid�o)



D�ferlement simul� num�riquement par r�solution des �quations en eau peu profonde (Saint Venant) ( au format MPEG (*.mpg) ). d�ferlement

dt=.001 itmax=80 ittmax=50 dx=.005 nx=2000 eps=1 delta=0.0 pulse=5

On peut observer ce ph�nom�ne dans un lavabo (ressaut fixe). Le ressaut mobile sera vu lors du mascaret.
D�ferlement par variation de profondeur:
d�ferlement (Vid�o)

d�ferlement (Vid�o)










Le soliton
Les deux effets raidissement et dispersion peuvent se compenser Exemples de propagations d'ondes de gravit� dans une cuve au Palais de la d�couverte (le fond de la cuve est bien plat, les ondulations noires sont des dessins pour faire zoli.



FILMS au format QuickTime (*.mov)

d�part du soliton, premier passage:
soliton gauche -> droite (Vid�o)



retour du soliton apr�s r�flexion sur la paroi.
soliton retour, droite -> gauche (Vid�o)





Un soliton (en mpg) dans le rep�re mobile
dt=.001 nx=128 Lx=10 UN=0 epsilon=.6666 visc=.00 delta2=0.666666

Noter que dans ces animations, le choix des �chelles est malheureux: l'amplitude est exag�r�e vis � vis de l'�chelle longitudinale. De m�me l'�chelle de temps est plus lente!
Un soliton dans le rep�re fixe (KDV mov).
Un soliton dans le rep�re fixe (KDV mpg).
dt=0.001 itmax=100 ittmax=100 nx=256 Lx=15 UN=1 epsilon=.5 visc=0.00 delta2=0.5 sigma=.0









Une application grandeur nature: le mascaret � Saint Pardon


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