Ensuite, la bosse s'Žtant dŽplacŽe, la pression est maximale ˆ son sommet
et dŽcro”t en decendant ˆ droite. La pression dŽcro”t, donc la vitesse
augmente. En revanche dans la partie gauche, la pression cro”t de gauche ˆ
droite (jusqu'au sommet): le gradient de pression ralentit le
fluide....
La rŽsolution numŽrique calcule quantitativement ces phŽnomnes ˆ chaque
pas de temps.
Ces Žquations sont celles de Saint Venant (Shallow Water equations):
La densitŽ du liquide est notŽe rho et g est la gravitŽ.
Elles sont valables lorsque la profondeur du fluide est plus petite que
l'Žchelle longitudinale sur laquelle se produit le phŽnomne, l'amplitude
de la vague pouvant tre du mme ordre de grandeur que la
profondeur.
Dans le cas du soliton que nous examinerons, il ne reste qu'une Žquation!
Elle est dŽduite des Žquations de Navier Stokes sans viscositŽ en tenant
compte du fait que la profondeur du fluide est plus petite que l'Žchelle
longitudinale sur laquelle se produit le phŽnomne mais pas trop (c'est
delta=hauteur/ longueur), et que l'amplitude de la vague est plus petite
que la profondeur (c'est l'epsilon = amplitude sur hauteur). Il s'agit de
l'Žquation Korteweg de Vries Žcrite sans dimension:
Nous proposons maintenant diffŽrents types de vagues.
Les variations d'amplitude sont trs petites.
Les particules se dŽplacent circulairement.
Elles se dŽplacent avec une vitesse bien plus petite que la vitesse de
l'onde.
Noter la vitesse de la particule plus petite que la vitesse de l'onde
Noter la longueur d'onde ...
Film sur la Houle en *.mov (M.).
Suivant la profondeur, cette trajectoire se dŽforme.
Le rayon dŽcro”t exponentiellement dans le cas d'une profondeur infinie.
Dans le cas de profondeur finie, la trajectoire est une ellipse de plus en
plus aplatie lorsque l'on s'enfonce.
Houle de Gerstner
L'amplitude de la vague augmente: effets non linŽaires sur lesquels nous
reviendrons plus tard.
(Elle dŽferle pour une amplitude Žgale ˆ la longueur d'onde divisŽe par 2 ¹
).
Film sur la Houle en *.mov (M.).
Les particules se dŽplacent circulairement.
C'est une houle parmi les nombreux modles de houle existants...
Sur le film on observe comment un signal en forme de triangle est obtenu
par sommation de sinus. (Il y en a 30 en tout, on pourrait en mettre
plus...)
Film en *.mov (M.).
Application, dans le cas du signal prŽcŽdent composŽ de 4 ondes.
Žvolution de ce signal si chaque pulsation a une vitesse de phase
diffŽrente
( simulation de la propagation de quatre modes du triangle dans un milieu
dispersif)
dispersif.mov
(M.).
Propagation d'une vague dans une eau de profondeur assez faible:
train d'ondes dispersives (non linŽaritŽs faibles) obtenues dans la cuve:
ondes dispersives
onde dont la solution est la
fonction d'Airy? (VidŽo mov).
On compare ce train d'ondes ˆ la dŽformation d'une vague unique sous
l'action de la dispersion, par simulation numŽrique (KDV)
ondes dispersives les ondes de petite
longueur d'onde vont moins vite. (KDV.mov)
ondes dispersives (KDV.mpg).
dt=0.001
itmax=100
ittmax=100
nx=256
Lx=15
UN=1
epsilon=.0000
visc=0.00
delta2=.15
DŽformation d'une vague, simulation numŽrique (KDV)
ondes dispersives les hautes frŽquences
spatiales vont plus vite que les courtes (effet de tension de
surface...)(KDV en mov).
dt=0.001
itmax=100
ittmax=100
nx=256
Lx=15
UN=1
epsilon=.0000
visc=0.00
delta2=-.15
- Raidissement d'un signal
Si l'amplitude est grande, le haut de la vague va plus vite que le
bas!
Le haut dŽpasse le bas: c'est le dŽferlement.
Propagation d'une vague d'assez grande amplitude par rapport ˆ la
profondeur de l'eau (rŽsolution numŽrique de KDV). Avec la modŽlisation
simplifiŽe, le dŽferlement appara”t comme un raidissement de la vague
raidissement .mov (KDV).
raidissement .mpg (KDV).
dt=0.01
itmax=100
ittmax=10
nx=256
Lx= 15
UN=1
epsilon=.5
visc=0.05
delta2=0
sigma=.0
ilarge=0
DŽferlement (non linŽaritŽs fortes), observations dans la cuve du Palais:
dŽferlement (VidŽo)
dŽferlement (VidŽo)
DŽferlement simulŽ numŽriquement par rŽsolution des Žquations en
eau peu profonde (Saint Venant) ( au format MPEG (*.mpg) ).
dŽferlement
dt=.001 itmax=80 ittmax=50 dx=.005 nx=2000 eps=1 delta=0.0 pulse=5
On peut observer ce phŽnomne dans un lavabo (ressaut fixe). Le ressaut
mobile sera vu lors du mascaret.
DŽferlement par variation de profondeur:
dŽferlement (VidŽo)
dŽferlement (VidŽo)
FILMS au format QuickTime (*.mov)
dŽpart du soliton, premier passage:
soliton gauche -> droite (VidŽo)
retour du soliton aprs rŽflexion sur la paroi.
soliton retour, droite -> gauche
(VidŽo)
Un soliton (en mpg) dans le repre mobile
dt=.001 nx=128 Lx=10 UN=0 epsilon=.6666 visc=.00 delta2=0.666666
Noter que dans ces animations, le choix des Žchelles est malheureux:
l'amplitude est exagŽrŽe vis ˆ vis de l'Žchelle longitudinale. De mme
l'Žchelle de temps est plus lente!
Un soliton dans le repre fixe (KDV
mov).
Un soliton dans le repre fixe (KDV
mpg).
dt=0.001
itmax=100
ittmax=100
nx=256
Lx=15
UN=1
epsilon=.5
visc=0.00
delta2=0.5
sigma=.0