Ensuite, la bosse s'�tant d�plac�e, la pression est maximale � son sommet
et d�cro�t en decendant � droite. La pression d�cro�t, donc la vitesse
augmente. En revanche dans la partie gauche, la pression cro�t de gauche �
droite (jusqu'au sommet): le gradient de pression ralentit le
fluide....
La r�solution num�rique calcule quantitativement ces ph�nom�nes � chaque
pas de temps.
Ces �quations sont celles de Saint Venant (Shallow Water equations):
La densit� du liquide est not�e rho et g est la gravit�.
Elles sont valables lorsque la profondeur du fluide est plus petite que
l'�chelle longitudinale sur laquelle se produit le ph�nom�ne, l'amplitude
de la vague pouvant �tre du m�me ordre de grandeur que la
profondeur.
Dans le cas du soliton que nous examinerons, il ne reste qu'une �quation!
Elle est d�duite des �quations de Navier Stokes sans viscosit� en tenant
compte du fait que la profondeur du fluide est plus petite que l'�chelle
longitudinale sur laquelle se produit le ph�nom�ne mais pas trop (c'est
delta=hauteur/ longueur), et que l'amplitude de la vague est plus petite
que la profondeur (c'est l'epsilon = amplitude sur hauteur). Il s'agit de
l'�quation Korteweg de Vries �crite sans dimension:
Nous proposons maintenant diff�rents types de vagues.
Les variations d'amplitude sont tr�s petites.
Les particules se d�placent circulairement.
Elles se d�placent avec une vitesse bien plus petite que la vitesse de
l'onde.
Noter la vitesse de la particule plus petite que la vitesse de l'onde
Noter la longueur d'onde ...
Film sur la Houle en *.mov (M.).
Suivant la profondeur, cette trajectoire se d�forme.
Le rayon d�cro�t exponentiellement dans le cas d'une profondeur infinie.
Dans le cas de profondeur finie, la trajectoire est une ellipse de plus en
plus aplatie lorsque l'on s'enfonce.
Houle de Gerstner
L'amplitude de la vague augmente: effets non lin�aires sur lesquels nous
reviendrons plus tard.
(Elle d�ferle pour une amplitude �gale � la longueur d'onde divis�e par 2 �
).
Film sur la Houle en *.mov (M.).
Les particules se d�placent circulairement.
C'est une houle parmi les nombreux mod�les de houle existants...
Sur le film on observe comment un signal en forme de triangle est obtenu
par sommation de sinus. (Il y en a 30 en tout, on pourrait en mettre
plus...)
Film en *.mov (M.).
Application, dans le cas du signal pr�c�dent compos� de 4 ondes.
�volution de ce signal si chaque pulsation a une vitesse de phase
diff�rente
( simulation de la propagation de quatre modes du triangle dans un milieu
dispersif)
dispersif.mov
(M.).
Propagation d'une vague dans une eau de profondeur assez faible:
train d'ondes dispersives (non lin�arit�s faibles) obtenues dans la cuve:
ondes dispersives
onde dont la solution est la
fonction d'Airy? (Vid�o mov).
On compare ce train d'ondes � la d�formation d'une vague unique sous
l'action de la dispersion, par simulation num�rique (KDV)
ondes dispersives les ondes de petite
longueur d'onde vont moins vite. (KDV.mov)
ondes dispersives (KDV.mpg).
dt=0.001
itmax=100
ittmax=100
nx=256
Lx=15
UN=1
epsilon=.0000
visc=0.00
delta2=.15
D�formation d'une vague, simulation num�rique (KDV)
ondes dispersives les hautes fr�quences
spatiales vont plus vite que les courtes (effet de tension de
surface...)(KDV en mov).
dt=0.001
itmax=100
ittmax=100
nx=256
Lx=15
UN=1
epsilon=.0000
visc=0.00
delta2=-.15
- Raidissement d'un signal
Si l'amplitude est grande, le haut de la vague va plus vite que le
bas!
Le haut d�passe le bas: c'est le d�ferlement.
Propagation d'une vague d'assez grande amplitude par rapport � la
profondeur de l'eau (r�solution num�rique de KDV). Avec la mod�lisation
simplifi�e, le d�ferlement appara�t comme un raidissement de la vague
raidissement .mov (KDV).
raidissement .mpg (KDV).
dt=0.01
itmax=100
ittmax=10
nx=256
Lx= 15
UN=1
epsilon=.5
visc=0.05
delta2=0
sigma=.0
ilarge=0
D�ferlement (non lin�arit�s fortes), observations dans la cuve du Palais:
d�ferlement (Vid�o)
d�ferlement (Vid�o)
D�ferlement simul� num�riquement par r�solution des �quations en
eau peu profonde (Saint Venant) ( au format MPEG (*.mpg) ).
d�ferlement
dt=.001 itmax=80 ittmax=50 dx=.005 nx=2000 eps=1 delta=0.0 pulse=5
On peut observer ce ph�nom�ne dans un lavabo (ressaut fixe). Le ressaut
mobile sera vu lors du mascaret.
D�ferlement par variation de profondeur:
d�ferlement (Vid�o)
d�ferlement (Vid�o)
FILMS au format QuickTime (*.mov)
d�part du soliton, premier passage:
soliton gauche -> droite (Vid�o)
retour du soliton apr�s r�flexion sur la paroi.
soliton retour, droite -> gauche
(Vid�o)
Un soliton (en mpg) dans le rep�re mobile
dt=.001 nx=128 Lx=10 UN=0 epsilon=.6666 visc=.00 delta2=0.666666
Noter que dans ces animations, le choix des �chelles est malheureux:
l'amplitude est exag�r�e vis � vis de l'�chelle longitudinale. De m�me
l'�chelle de temps est plus lente!
Un soliton dans le rep�re fixe (KDV
mov).
Un soliton dans le rep�re fixe (KDV
mpg).
dt=0.001
itmax=100
ittmax=100
nx=256
Lx=15
UN=1
epsilon=.5
visc=0.00
delta2=0.5
sigma=.0