La science en fte
au Palais de la DŽcouverte

Vagues, effets non linéaires et dispersifs!


10 11 et 12 Octobre 1997


http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/SIEF/SIEF97/sieft97.html













A propos des animations:
Elles sont au formats "MPEG" et/ou en "Quick Time Movie"... c'est ˆ dire en *.mpg et *.mov. Elles sont lisibles par tout bon ordinateur dont Mac (mais c'est un plŽonasme), mais mme sur PC, ˆ condition de le configurer sŽrieusement, voire sur Station Unix.
Config Mac: Netscape Lecture Quick Time et Sparkle.
Ces animations sont de diffŽrentes sources:
certaines sont faites avec "Mathematica" (notŽ M.)
certaines sont des films vidŽo numŽrisŽs (notŽ VidŽo)
certaines sont des calculs FFT de rŽsolution de l'Žquation KDV (notŽ KDV)
certaines sont des calculs par diffŽrences finies de Saint Venant (notŽ SV)
certaines sont des calculs Navier Stokes par code ad hoc (notŽ NS)
Pour en savoir plus sur les animations qui vont suivre (qui ont ŽtŽ prŽsentŽes lors de la science en fte au Palais de la découverte), consulter les pages Oueb de leurs auteurs dans le corps du texte.




dŽfinitions
Onde:
perturbation qui se propage.
ex: ondes sonore (perturbation de la pression de l'air), onde sur la corde vibrante (dŽformation d'une corde tendue), ondes ŽlectromagnŽtiques (perturbation des champs Žlectrique et magnŽtique).

Vague:
Perturbation de la surface de l'eau qui se propage.

Houle:
Vague en profondeur infinie (loin de la c™te et de la source).

Vitesse du fluide et vitesse de phase
Il faut bien diffŽrencier la vitesse de la particule de la vitesse de l'onde. Cette premire est bien la vitesse associŽe au dŽplacement d'un petit volume d'eau, tandis que la seconde est la vitesse ˆ laquelle on a l'"impression" que la vague avance.

dŽferlante
...

mascaret


Soliton




Propagation de vagues
MŽcanisme, les Žquations compltes sont compliquŽes: ce sont les Žquations de navier Stokes. Elles prennent en compte l'incompressibilitŽ de l'air et de l'eau, les conservations de quantitŽs de mouvement sous l'action des forces de pression, de gravitŽ, de viscositŽ et de tension de surface. Les rŽsolutions numŽriques que nous proposerons seront fondŽes sur des Žquations simplifiŽes dŽduites des prŽcŽdentes en tenant compte du fait que certains termes peuvent tre nŽgligŽs.
En gros, si on s'intŽresse au ressaut il ne reste que deux Žquations.
Premirement, il reste l'Žquation de conservation du volume: si on pousse l'eau, elle monte. Deuximement il reste l'Žquation de conservation de quantitŽ de mouvement longitudinale: si on a fait monter de l'eau la gravitŽ la fait redescendre et sur son Žlan elle repousse l'eau qui ...


MŽcanisme de la Propagation de vagues
Plus prŽcisement, examinons une vague ˆ un instant t, par conservation du dŽbit, lˆ o la vitesse augmente la vague est ŽtirŽe: elle s'amincit. En revanche lˆ o la vitesse diminue, il y a augmentation du niveau. La bosse de dŽplace sur la droite.


Ensuite, la bosse s'Žtant dŽplacŽe, la pression est maximale ˆ son sommet et dŽcro”t en decendant ˆ droite. La pression dŽcro”t, donc la vitesse augmente. En revanche dans la partie gauche, la pression cro”t de gauche ˆ droite (jusqu'au sommet): le gradient de pression ralentit le fluide....


La rŽsolution numŽrique calcule quantitativement ces phŽnomnes ˆ chaque pas de temps.


Ces Žquations sont celles de Saint Venant (Shallow Water equations):


La densitŽ du liquide est notŽe rho et g est la gravitŽ.
Elles sont valables lorsque la profondeur du fluide est plus petite que l'Žchelle longitudinale sur laquelle se produit le phŽnomne, l'amplitude de la vague pouvant tre du mme ordre de grandeur que la profondeur.


Dans le cas du soliton que nous examinerons, il ne reste qu'une Žquation! Elle est dŽduite des Žquations de Navier Stokes sans viscositŽ en tenant compte du fait que la profondeur du fluide est plus petite que l'Žchelle longitudinale sur laquelle se produit le phŽnomne mais pas trop (c'est delta=hauteur/ longueur), et que l'amplitude de la vague est plus petite que la profondeur (c'est l'epsilon = amplitude sur hauteur). Il s'agit de l'Žquation Korteweg de Vries Žcrite sans dimension:





Nous proposons maintenant diffŽrents types de vagues.



Houle linŽaire: Houle d'Airy

l'amplitude est beaucoup plus petite que la longueur d'onde. La profondeur est ici bien plus grande que la longueur d'onde.




Les variations d'amplitude sont trs petites.
Les particules se dŽplacent circulairement.
Elles se dŽplacent avec une vitesse bien plus petite que la vitesse de l'onde.
Noter la vitesse de la particule plus petite que la vitesse de l'onde
Noter la longueur d'onde ...
Film sur la Houle en *.mov (M.).

Suivant la profondeur, cette trajectoire se dŽforme.
Le rayon dŽcro”t exponentiellement dans le cas d'une profondeur infinie. Dans le cas de profondeur finie, la trajectoire est une ellipse de plus en plus aplatie lorsque l'on s'enfonce.


Houle de Gerstner

L'amplitude de la vague augmente: effets non linŽaires sur lesquels nous reviendrons plus tard.
(Elle dŽferle pour une amplitude Žgale ˆ la longueur d'onde divisŽe par 2 ¹ ).


Film sur la Houle en *.mov (M.).
Les particules se dŽplacent circulairement.
C'est une houle parmi les nombreux modles de houle existants...




dŽcomposition d'un signal en somme d'ondes

Tout signal peut se dŽcomposer en une somme d'ondes sinuso•dales. D'o l'intŽrt d'Žtudier les ondes sinuso•dales.


Sur le film on observe comment un signal en forme de triangle est obtenu par sommation de sinus. (Il y en a 30 en tout, on pourrait en mettre plus...)
Film en *.mov (M.).





deux effets qui modifient la forme des vagues
- la Dispersion
Si les ondes se dŽplacent ˆ la mme vitesse, le signal est inchangŽ.
Exemple: simulation de la propagation de quatre modes du triangle dans un milieu non dispersif:
inchangŽ.mov (M. en mov)

Si les ondes ne se dŽplacent pas ˆ la mme vitesse, le signal est modifiŽ.
Le phŽnomne est bien connu en optique: il donne lieu ˆ la dŽcomposition de la lumire dans un prisme et aux couleurs de l'arc en ciel.
En acoustique (ondes sonores), il n'y a pas de dispersion, c'est pour cela que l'on s'entend si bien!
Dans le cas des vagues sur la mer, la longueur d'onde diminue lorsque l'on se rapproche du rivage (la profondeur diminue).


Application, dans le cas du signal prŽcŽdent composŽ de 4 ondes.


Žvolution de ce signal si chaque pulsation a une vitesse de phase diffŽrente
( simulation de la propagation de quatre modes du triangle dans un milieu dispersif) dispersif.mov
(M.).

Propagation d'une vague dans une eau de profondeur assez faible: train d'ondes dispersives (non linŽaritŽs faibles) obtenues dans la cuve:
ondes dispersives


onde dont la solution est la fonction d'Airy? (VidŽo mov).

On compare ce train d'ondes ˆ la dŽformation d'une vague unique sous l'action de la dispersion, par simulation numŽrique (KDV)


ondes dispersives les ondes de petite longueur d'onde vont moins vite. (KDV.mov)
ondes dispersives (KDV.mpg).
dt=0.001 itmax=100 ittmax=100 nx=256 Lx=15 UN=1 epsilon=.0000 visc=0.00 delta2=.15




DŽformation d'une vague, simulation numŽrique (KDV)
ondes dispersives les hautes frŽquences spatiales vont plus vite que les courtes (effet de tension de surface...)(KDV en mov).
dt=0.001 itmax=100 ittmax=100 nx=256 Lx=15 UN=1 epsilon=.0000 visc=0.00 delta2=-.15


- Raidissement d'un signal

Si l'amplitude est grande, le haut de la vague va plus vite que le bas!
Le haut dŽpasse le bas: c'est le dŽferlement.


Propagation d'une vague d'assez grande amplitude par rapport ˆ la profondeur de l'eau (rŽsolution numŽrique de KDV). Avec la modŽlisation simplifiŽe, le dŽferlement appara”t comme un raidissement de la vague
raidissement .mov (KDV).
raidissement .mpg (KDV).
dt=0.01 itmax=100 ittmax=10 nx=256 Lx= 15 UN=1 epsilon=.5 visc=0.05 delta2=0 sigma=.0 ilarge=0

DŽferlement (non linŽaritŽs fortes), observations dans la cuve du Palais:
dŽferlement (VidŽo)


dŽferlement (VidŽo)



DŽferlement simulŽ numŽriquement par rŽsolution des Žquations en eau peu profonde (Saint Venant) ( au format MPEG (*.mpg) ). dŽferlement

dt=.001 itmax=80 ittmax=50 dx=.005 nx=2000 eps=1 delta=0.0 pulse=5

On peut observer ce phŽnomne dans un lavabo (ressaut fixe). Le ressaut mobile sera vu lors du mascaret.
DŽferlement par variation de profondeur:
dŽferlement (VidŽo)

dŽferlement (VidŽo)










Le soliton
Les deux effets raidissement et dispersion peuvent se compenser Exemples de propagations d'ondes de gravitŽ dans une cuve au Palais de la dŽcouverte (le fond de la cuve est bien plat, les ondulations noires sont des dessins pour faire zoli.



FILMS au format QuickTime (*.mov)

dŽpart du soliton, premier passage:
soliton gauche -> droite (VidŽo)



retour du soliton aprs rŽflexion sur la paroi.
soliton retour, droite -> gauche (VidŽo)





Un soliton (en mpg) dans le repre mobile
dt=.001 nx=128 Lx=10 UN=0 epsilon=.6666 visc=.00 delta2=0.666666

Noter que dans ces animations, le choix des Žchelles est malheureux: l'amplitude est exagŽrŽe vis ˆ vis de l'Žchelle longitudinale. De mme l'Žchelle de temps est plus lente!
Un soliton dans le repre fixe (KDV mov).
Un soliton dans le repre fixe (KDV mpg).
dt=0.001 itmax=100 ittmax=100 nx=256 Lx=15 UN=1 epsilon=.5 visc=0.00 delta2=0.5 sigma=.0









Une application grandeur nature: le mascaret ˆ Saint Pardon


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