Écoulement dans un tuyau souple

On veut résoudre l'écoulement dans un tuyau souple d'un fluide laminaire newtonien. Comme la longueur caractéristique longitudinale, qui est en fait la longueur d'onde de l'onde de pouls, est bien grande que la largeur de l'artère, et comme la vitesse de propagation de cette onde est elle même plus grande que la vitesse du fluide, on arrive au système suivant:

La perturbation du rayon R₀(x) est h(x,t), h/R est assez petite (de l'ordre de 0.1), c'est aussi exactement l'ordre de grandeur des termes non linéaires de dérivées spatiales de vitesses. Le terme de dérivée seconde longitudinale a pour ordre de grandeur l'inverse du nombre de Womersley.



Sur les petites animations en "mpeg" suivantes, on trace en rouge les profils instantannés de vitesse longitudinale, en noir la variation du rayon par rapport au temps, en bleu la perturbation du rayon.

1^o) Départ impulsif, cas linéaire: on impose brusquement un échelon de variation de rayon en x=0. La solution est une diffusion de h.
tuyau souple

2^o) Solution de Womersley modifiée: fluide non linéaire, paroi linéaire. Womersley

3^o) Solution non linéaire, entrée pseudo physiologique à deux bosses.
double bosse

4^o) On peut construire une méthode intégrale...


Un texte en "ps" à propos des modélisations dans les artères.


retour