1 2 3 4 5 6 7 8 9

IMAGE imgs/intro97.w06.gif

Positions d'équilibre en fonction du paramètre de contrôle (on n'oublie pas +/- pinstable).


Lorsque la valeur du paramètre de contrôle change, la nature de la solution change de même

- si
w/w0<1caractère univoque état/ contrainte

- si
w/w0>1perte d'unicité et de symétrie ( dans les équations la symétrie q-> -q)


N.B.
- au vu de la courbe d'énergie ci-dessus on aurait pu anticiper ces résultats: la cuvette en
q=0 se

transforme petit à petit en bosse lorsque
w/w0augmente, la position q=0 devient alors instable.

- la solution
q=0 existe toujours! (cf la citation de Landau, l'état est toujours solution des équations,

mais il est inobservable...)


Lorsque le paramètre w/w0traverse la valeur unité le système bifurque.
Le concept de stabilité est plus général. Soit un état donné (équilibre, périodique, non régulier) On le

perturbe, que se passe-t-il et pour quel type de perturbation?


4. Calculs numériques:


On résoutpar une méthode de Runge Kutta à l'ordre 4, une technique classique et facile à mettre en
oeuvre - ce qui explique son succès pour les équations différentielles ordinaires avec conditions

initiales-. On pose
q(t)=u(t) et u'(t)=up(t), et on réécrit le système
q
¨+ a q.+ w02 sinq-w2sinqcosq = 0,

sous la forme d'un système du premier ordre en temps:

u' = up

up' =
-
aup - w02 sin u-w2(sin u) (cos u).

6

5 Décembre 1997introduction

[CONVERTED BY MYRMIDON]