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Short list Full list PhD thesis thèse de doctorat
Titre
Les attracteurs des systèmes dynamiques dissipatifs de Lorenz et de Liénard : nombre, forme et localisation.Date
06 Novembre 1998Directeur
Hector Giacomini, professeur à l'université de Tours, FranceMention
'Félicitations du jury'Mots clés
équations différentielles
Système de Lorenz
Systèmes dynamiques
Système de Liénard
Chaos
Attracteur
Cycle limite
Algorithme
Résumé
Le sujet de la thèse se situe dans le cadre de l'étude des équations différentielles ordinaires et des systèmes dynamiques non linéaires. La thèse présente une étude des attracteurs des systèmes dynamiques dissipatifs. En particulier, l’attracteur chaotique de Lorenz et les cycles limites des systèmes de Liénard. La première partie est dédiée au système de Lorenz. Ce système est obtenu par simplication des équations de Boussinesq fourmulées dans la cadre de la convection de Rayleigh-Bénard. Le système de Lorenz est important car il est le premier à avoir exhibé un comportement chaotique. On utilise des sections transverses (courbes ou surfaces qui ne sont traversées par le flot que dans un seul sens sur toute leur étendue) pour acquerir de l'information sur l'attracteur chaotique du système. Pour cela, on utilise les formes algébriques des intégrales du mouvement pour trouver des équations de sections tranverses. L'existence des ces sections transverses pour des plages de valeurs des paramètres nous permet de donner des limites algébriques à l'attracteur chaotique du systeme quand celui ci existe mais aussi de donner des plages de valeur des paramètres pour lesquelles il n'y a pas de comportement chaotique possible. La deuxième partie de la thèse présente un algorithme formel qui donne accès au nombre de cycles limites des systèmes de Liénard. En plus du nombre, on obtient une approximation algébrique de l'équation ainsi que la multiplicité de chacun de ces cycles. Le grand intérêt de cet algorithme est qu'il ne repose pas sur l'existence d'un petit paramètre (l'algorithme n'est pas perturbatif) et qu'il change le problème initial de résoudre une équation differentielle nonlinéaire en un problème algébrique de compter les racines d'un polynôme à une variable. On obtient aussi grâce à cet algorithme des approximations algébriques des courbes de bifurcations (de Hopf, saddle-node, hétérocline) des systèmes de Liénard.Jury
Referee (voir raport): Freddy Dumortier, Professeur
Limburgs Universitair Centrum
Universitaire Campus B-3590
Diepenbeek,Belgique
32 11 26 80 04
fdumorti@luc.ac.beReferee (voir raport): Jaume Llibre, Professeur
Departament de Matematiques
Universitat autonoma de Barcelona
08193 Bellaterra, Barcelona, Espagne
jllibre@mat.uab.esJavier Chavarriga, Professeur
Departament de Matematica
Universitat de Lleida
Palca Victor Siurana, 1
25003 Lleida, Espagne
34 73 70 21 15
dinamics@eup.udl.esBernard Derrida, Professeur
Laboratoire de Physique Statistique
Ecole Normale Superieure
24, rue Lhommond
75006 Paris
Bernard.Derrida@lps.ens.frHector Giacomini, Professeur
Laboratoire de matématiques et physique théorique
Faculté des Sciences, Université de Tours
37002 Tours, France
02 47 36 69 41
giacomin@celfi.phys.univ-tours.frMiguel A. F. Sanjuan, Professeur
Escuela Superior de Ciencias Experimentales y Tecnología
Universidad Rey Juan Carlos
Camino de Humanes 63 Fax : (34) 916476404
28936 Mostoles, Madrid Tfno.: (34) 916476193
España-Spain
msanjuan@escet.urjc.esLaurent Véron, Professeur
Laboratoire de matématiques et physique théorique
Faculté des Sciences, Université de Tours
37002 Tours, France
02 47 36 69 46
veron@univ-tours.fr