Compte-rendu de la r�union MECAMAT : Interfaces dans les milieux solides

Singularit�s et concentrations de contraintes

LMM, PARIS, mardi 3 d�cembre 1996

E. Sanchez-Palencia (LMM Paris) Vibrations libres, th�orie des poutres, singularit�s, un point commun : la s�paration de variables. Ce premier expos� s'est attach� � �tablir un parall�le entre les trois approches, sans manquer d'en rappeler �galement les diff�rences essentielles. L'analyse des vibrations libres s�pare le temps des variables d'espace. On retrouve cette s�paration dans l'�tude des poutres o� cette fois c'est la direction axiale z qui est s�par�e des deux autres variables d'espace. Le traitement des deux approches se ram�ne � la recherche de valeurs propres et de vecteurs propres (au signe de l'op�rateur diff�rentiel pr�s qui fait toute la diff�rence entre probl�me hyperbolique et probl�me elliptique). Dans le deuxi�me cas viennent s'ajouter des valeurs propres d�fectives associ�es � l'exposant 0 qui permettent d'exprimer les solutions classiques de type traction, torsion et flexion.

Le calcul des singularit�s pr�sente beaucoup d'analogies avec le deuxi�me cas, le probl�me (elliptique �galement) est exprim� en variables sph�riques (ou polaires en 2D) et la variable radiale r est s�par�e des autres. On peut distinguer les exposants positifs des exposants n�gatifs et les singularit�s logarithmiques cons�quences des valeurs propres d�fectives.

R. Desmorat (LMT Cachan) Singularit�s en �lasticit� plane anisotrope, extension � la plasticit� avec �crouissage lin�aire. Le calcul analytique des solutions singuli�res en l'�lasticit� plane anisotrope est r�alis� ici � partir de potentiels �lastiques et une g�n�ralisation des coefficients de Dundurs o� trois param�tres permettent de mesurer l'h�t�rog�n�it� entre deux mat�riaux. L'extension � la plasticit� avec �crouissage lin�aire se fait, sous de bonnes hypoth�ses, en utilisant le module tangent apr�s avoir "discr�tis�" le mat�riau plastique en secteurs suffisamment petits.

S. Andrieux (EDF Clamart) La singularit� �pine existe-t-elle dans les applications industrielles. La singularit� �pine est un concept qui a �t� introduit par H.D. Bui pour d�crire des ph�nom�nes li�s au manque de r�gularit� des sollicitations ext�rieures appliqu�es � une structure. C'est le cas par exemple du choc thermique provoqu� par le d�placement d'un bouchon d'eau chaude dans une canalisation. Ceci se traduit par une discontinuit� du champ de contrainte en peau ou m�me une croissance logarithmique de ce champ. Cette situation se rencontre �galement dans des bimat�riaux en pr�sence d'une incompatibilit� plastique ou d'une incompatibilit� des coefficients de dilatation thermique.

Y. Ousset (ONERA Chatillon) Singularit� de contrainte dans un bi-mat�riau sous chargement thermique. Les m�taux d�veloppent g�n�ralement sur leur surface ext�rieure une couche d'oxyde qui joue un r�le de barri�re pour diff�rents ph�nom�nes. Malheureusement, en raison � la fois des diff�rences entre les modules d'Young et l'incompatibilit� des coefficients de dilatation thermique du m�tal et de l'oxyde, les chargements thermiques provoquent un ph�nom�ne nocif d'�caillage de la surface. La singularit� au bord li�e � ces �carts est faible et il est difficile dans les calculs de s�parer la partie singuli�re de la partie r�guli�re de la solution. La discussion qui a suivi a port� essentiellement sur l'�paisseur de la couche d'oxyde et sur la difficult� de mod�liser l'interface comme une surface parfaite alors qu'il existe une zone de diffusion entre les deux corps.

V. Lazarus (LMM Paris) Fonctions de poids 3D d'une fissure d'interface semi-infinie. En m�canique de la rupture bi-dimensionnelle classique, les fonctions de poids sont d�finies comme les facteurs d'intensit� de contraintes d'une fissure rectiligne soumise � un chargement ponctuel � une distance donn�e x de sa pointe. Ce sont des fonctions de la variable x connues analytiquement. La g�n�ralisation tridimensionnelle de cette th�orie est possible, il faut �videmment rechercher cette fois des fonctions de la variable d'espace x, distance au front de fissure, et de

Z, position sur le front de fissure. L'obtention est quasi analytique, seul le calcul d'une int�grale requiert une tabulation num�rique.

F. Creuzet (Saint-Gobain) Propagation sub-critique de fissures dans le verre. Diff�rentes images en pointe de fissure dans le verre et la silice sont pr�sent�es. Elles ont �t� obtenues pour des vitesses de propagation sub-critiques de l'ordre de 1nm/s, gr�ce � la microscopie � force atomique. Elles mettent en �vidence plusieurs ph�nom�nes. Tout d'abord la localisation de la zone plastique, tr�s r�duite dans le verre, cette zone est totalement absente dans la silice. L'ouverture de la fissure est sup�rieure d'au moins un ordre � ce grandeur � ce que pr�voit l'�lasticit� lin�aire. La pr�sence d'une cuvette au voisinage de la pointe de fissure renforce l'hypoth�se de l'�lasticit� non-lin�aire localis�e en pointe. En revanche, il n'est observ� aucune d�formation r�siduelle bien qu'il n'y ait pas refermeture compl�te de la fissure. A ces m�canismes, il convient d'ajouter des ph�nom�nes de vieillissement, il y a migration de certaines esp�ces vers la surface de la fissure avec une interaction entre ces vitesses de migration et la vitesse de propagation. La discussion a port� sur les conditions d'exp�rience et notamment sur le fait que la fissure est tr�s vraisemblablement sollicit�e en mode mixte.

P. Coorevits (LMT Cachan) Prise en compte des singularit�s dans l'optimisation de maillage. L'objectif de l'optimisation de maillage est de r�duire le nombre d'�l�ments constituant un maillage et donc le co�t des calculs tout en garantissant une distribution uniforme d'erreur fix�e au pr�alable par l'utilisateur. La pr�sence de points singuliers dans une structure peut perturber sensiblement le proc�d� d'optimisation et conduire � un "bouclage infernal" d�bouchant sur des raffinements inconsid�r�s au voisinage de ces points. La proc�dure propos�e effectue pr�alablement une recherche des zones � fort gradient et une �valuation du taux de croissance des contraintes. Ce coefficient n'est autre que l'exposant de la singularit�. Un proc�d� reposant sur l'�valuation de contraintes moyennes aux noeuds permet alors de traiter ces zones de mani�re distincte afin d'�viter les avatars mentionn�s pr�c�demment. L'automatisation de ces processus est effective dans des situations bi et tridimensionnelles.

G. Geymonat (LMT Cachan) Singularit�s dans les joints coll�s. Au cours de cet expos�, deux mod�les asymptotiques d'interface sont compar�s. Ils consitent tous deux � prendre en compte la pr�sence d'un troisi�me corps mince s�parant deux substrats. Dans le premier mod�le, la raideur de cette couche est suppos� born�e. Le r�sultat met en �vidence, au premier ordre, une interface parfaite, des discontinuit�s n'intervenant que dans le terme correcteur. Dans le second cas, mod�lisant une interface faible ou d�grad�e, la raideur est suppos�e d�cro�tre avec l'�paisseur de la couche. Le mod�le conduit � une relation sur l'interface entre vecteur contrainte et discontinuit� des d�placements. Une telle relation interdit une analyse classique des singularit�s et on peut mettre en �vidence localement la pr�sence d'une singularit� �pine due au manque de r�gularit� des conditions aux bords ainsi g�n�r�es.

Table ronde. La discussion a �t� �court�e afin de ne pas imposer � l'auditoire une journ�e trop longue. D. Leguillon a simplement mentionn� � cette occasion les moyens dont dispose le LMM dans le domaine du calcul des singularit�s. En �lasticit� plane et �lasticit� plane g�n�ralis�e, des outils simples ont �t� d�velopp�s. Ils font l'objet d'un logiciel exploitable sur PC et dont chacun peut se procurer une copie aupr�s du LMM. Le calcul du facteur d'intensit� fait appel � l'utilisation d'un code de calcul, l'outil a �t� d�velopp� dans le cadre de MODULEF mais des interfaces sont d�veloppables ais�ment pour d'autres

codes. Enfin, le laboratoire dispose �galement d'un code de calcul des singularit�s dans des situations purement tridimensionnelles, sa mise en oeuvre est �videmment un peu plus lourde mais toutes les collaborations n�cessaires peuvent �tre �tablies dans ce domaines par les personnes int�ress�es.

D. LEGUILLON