PYL: c Août 05
(Lagrée P.-Y.),
LMM-Univ PARIS 6, B 162,
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Résolution numérique implicite de l'équation de la chaleur
On veut résoudre l'équation de la chaleur instationnaire 2D:
òT ò2T ò2T
-- = --- + ---
òt òx2 òy2
avec comme condition initiale T(x,t=0)=1
et comme conditions aux limites
T(0,t)=T(1,t)=0.
Pour la résolution numérique, on passe par une méthode de type directions
alternées (ADI) de Peaceman-Rachford (1956!!).
On discrétise en temps en passant par un temps intermédiaire
soit dt le pas de temps de discrétisation, dx et dy les pas en x et
y.
En pratique, on note T(t,x,y) sous la forme du tableau T[i][j], et T(t-dt,x) est noté To(t-dt,x).
L'équation de la chaleur discrétisée s'écrit:
T*[i][j]= Tn[i][j] + dt
(T*[i-1][j] -2 T*[i][j] + T*[i+1][j])/dx/dx
+ dt (Tn[i][j-1] -2 Tn[i][j] + Tn[i][j+1])/dy/dy
Tn+1[i][j]= T*[i][j] + dt
(T*[i-1][j] -2 T*[i][j] + T*[i+1][j])/dx/dx
+ dt (Tn+1[i][j-1] -2 Tn+1[i][j] + Tn+1[i][j+1])/dy/dy
On a deux systèmes tridiagonaux à résoudre.
retour à l'applet Java de la résolution implicite de l'équation de la chaleur, modification du pas
de temps et des conditions aux limites en direct.
La source pour la solution de l'équation de la
chaleur, La source
pour l'interface graphique
(inspirée de GraphLayout Sun/Apple).