PYL: c Août 05 (Lagrée P.-Y.), LMM-Univ PARIS 6, B 162,
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Résolution numérique implicite de l'équation de la chaleur


On veut résoudre l'équation de la chaleur instationnaire 2D:
   òT   ò2T   ò2T 
   -- = --- + ---
   òt   òx2   òy2
avec comme condition initiale
   T(x,t=0)=1
et comme conditions aux limites
   T(0,t)=T(1,t)=0.
Pour la résolution numérique, on passe par une méthode de type directions alternées (ADI) de Peaceman-Rachford (1956!!).
On discrétise en temps en passant par un temps intermédiaire soit dt le pas de temps de discrétisation, dx et dy les pas en x et y.
En pratique, on note T(t,x,y) sous la forme du tableau T[i][j], et T(t-dt,x) est noté To(t-dt,x).
L'équation de la chaleur discrétisée s'écrit:
       T*[i][j]= Tn[i][j] + dt (T*[i-1][j] -2 T*[i][j] + T*[i+1][j])/dx/dx + dt (Tn[i][j-1] -2 Tn[i][j] + Tn[i][j+1])/dy/dy
       Tn+1[i][j]= T*[i][j] + dt (T*[i-1][j] -2 T*[i][j] + T*[i+1][j])/dx/dx + dt (Tn+1[i][j-1] -2 Tn+1[i][j] + Tn+1[i][j+1])/dy/dy
On a deux systèmes tridiagonaux à résoudre.       
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La source pour la solution de l'équation de la chaleur, La source pour l'interface graphique (inspirée de GraphLayout Sun/Apple).