Résolution numérique explicite de l'équation des ondes

   ò2u    ò2u        
   --- =  ---   ;        
   òt2    òx2    

   òu      òp         òp      òu 
   -- = -  --   ;     -- = -  --   
   òt      òx         òt      òx  

   u(x,t=0)=0, p(x,t=0)

   u(0,t)=cos(ww t)  p(x=1,t)= 0.

     (u(t,x)- u(t-dt,x))/dt

     (p(t,x+dx) - p(t,x-dx))/(2dx).

     u(t,x)=  u(t-dt,x) -  ((p(t,x+dx) - p(t,x-dx))/dx) dt

     p(t,x)=  p(t-dt,x) -  ((u(t,x+dx) - u(t,x-dx))/dx) dt

     u(t,x)=u(t-dt,x) + dt(òu/òt) + (dt2/2)ò2u/òt2+ ...

     u(t,x)=u(t-dt,x) + dt(òu/òt) + (dt2/2)ò2u/òx2+ ...

     u[j]= uo[j] - dt * ((po[j+1]-po[j-1])/2/dx -(dt/2)(uo[j-1]-2*uo[j]+uo[j+1])/dx/dx) 

     p[j]= po[j] - dt * ((uo[j+1]-uo[j-1])/2/dx -(dt/2)(po[j-1]-2*po[j]+po[j+1])/dx/dx) 

• Cas des conditions données aux bornes:
  par exemple en j=0

  u[0]=u0 en j=n, p[n]=p1.

  on impose les valeurs, et l'autre équation est discrétisée au premier ordre:

      p[0]= po[0] - dt * (uo[1]-uo[0]  )/dx 
      u[n]= uo[n] - dt * (po[n]-po[n-1])/dx 

• Cas d'un tube ouvert en 1:
  

      p[n]=0;
      u[n]= uo[n] - dt *  (po[n]-po[n-1])/dx  ;



• Cas d'une tube fermé en 1:
  

       p[n]= po[n] - dt * (uo[n]-uo[n-1])/dx;
       u[n]=0;



• Cas d'un tube infini, sortie de type caractéristique:
  quand le tube est infini, il n'y a pas d'onde retour, on approxime:
  

        u[n]= uo[n] - dt * (uo[n]-uo[n-1])/dx  
        p[n]= po[n] - dt * (po[n]-po[n-1])/dx  ;}
   

• Cas ...