PYL: c Août 05 (Lagrée P.-Y.), LMM-Univ PARIS 6, B 162,
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Résolution numérique implicite de l'équation de diffusion


On veut résoudre l'équation de diffusion instationnaire 2D:
   òN   ò2N   ò2N 
   -- = --- + ---
   òt   òx2   òy2
avec comme condition initiale
   N(x,t=0)=1
et comme conditions aux limites
   N(0,t)=N(1,t)=0.
N'(x,0)=hN(x,0),N(x,H)=1,N'(0,y)=0,N'(1,y)=0
        N'(x,0)=hN(x,0),N(x,H)=1,N'(0,y)=0,N(1,y)=1
Pour la résolution numérique, on passe par une méthode de type directions alternées (ADI) de Peaceman-Rachford (1956!!).
On discrétise en temps en passant par un temps intermédiaire soit dt le pas de temps de discrétisation, dx et dy les pas en x et y.
En pratique, on note N(t,x,y) sous la forme du tableau N[i][j], et N(t-dt,x) est noté No(t-dt,x).
L'équation de diffusion discrétisée s'écrit:
       N*[i][j]= Nn[i][j] + dt (N*[i-1][j] -2 N*[i][j] + N*[i+1][j])/dx/dx + dt (Nn[i][j-1] -2 Nn[i][j] + Nn[i][j+1])/dy/dy
       Nn+1[i][j]= N*[i][j] + dt (N*[i-1][j] -2 N*[i][j] + N*[i+1][j])/dx/dx + dt (Nn+1[i][j-1] -2 Nn+1[i][j] + Nn+1[i][j+1])/dy/dy
On a deux systèmes tridiagonaux à résoudre que l'on résout par la méthode de montée descente de Thomas.       
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La source pour la solution de l'équation de la diffusion, La source pour l'interface graphique (inspirée de GraphLayout Sun/Apple).