PYL: c Août 05
(Lagrée P.-Y.),
LMM-Univ PARIS 6, B 162,
4 place Jussieu, 75252 PARIS
pyl(a)ccr.jussieu.fr
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Résolution numérique implicite de l'équation de
diffusion
On veut résoudre l'équation de diffusion instationnaire 2D:
òN ò2N ò2N
-- = --- + ---
òt òx2 òy2
avec comme condition initiale N(x,t=0)=1
et comme conditions aux limites
N(0,t)=N(1,t)=0.
N'(x,0)=hN(x,0),N(x,H)=1,N'(0,y)=0,N'(1,y)=0
N'(x,0)=hN(x,0),N(x,H)=1,N'(0,y)=0,N(1,y)=1
Pour la résolution numérique, on passe par une méthode de type directions
alternées (ADI) de Peaceman-Rachford (1956!!).
On discrétise en temps en passant par un temps intermédiaire
soit dt le pas de temps de discrétisation, dx et dy les pas en x et
y.
En pratique, on note N(t,x,y) sous la forme du tableau N[i][j], et
N(t-dt,x,y) est noté
No(t-dt,x,y).
L'équation de diffusion discrétisée s'écrit:
N*[i][j]= Nn[i][j] + dt
(N*[i-1][j] -2 N*[i][j] + N*[i+1][j])/dx/dx
+ dt (Nn[i][j-1] -2 Nn[i][j] + Nn[i][j+1])/dy/dy
Nn+1[i][j]= N*[i][j] + dt
(N*[i-1][j] -2 N*[i][j] + N*[i+1][j])/dx/dx
+ dt (Nn+1[i][j-1] -2 Nn+1[i][j] + Nn+1[i][j+1])/dy/dy
On a deux systèmes tridiagonaux à résoudre que l'on
résout par la méthode de montée descente de Thomas.
retour à l'applet Java de la résolution implicite de l'équation de la chaleur, modification du pas
de temps et des conditions aux limites en direct.
La source pour la solution de l'équation de la
diffusion, La source
pour l'interface graphique
(inspirée de GraphLayout Sun/Apple).