On se donne UN cylindre vertical
homogène
plongé dans le rayonnement solaire atmosphérique. On adopte
la simplification du type "bilans globaux" (approximation assez
sévère).
Bilan d'énergie interne, somme de quatre contributions:
dU/dt = QE + Qconv + Qrayon2 + Qrayon1.
que l'on détaille en:
* variation de l'énergie interne
* refroidissement par la convection naturelle
Qconv = - H (T1 -T•)1/4(T1 -T•)
* absorption de
l'éclairement
E
QE = E
* ré émission de radiation.
Qrayon1 = - S T14
* absorption du rayonnement diffus
Qrayon2 = S T•4
** Bilan (équation modèle)
Avec le temps mesuré en heures on a à peu près
= E - c1 (T1 -T•)1/4(T1 -T•) - c2 (T14 -T•4)
c1= 1.566 et c2=1.6 10-8, T•=300K T1(t=0)=287K
Exemple de résolution pour E=10
température
temps
Pour différentes valeurs de l'éclairement:
T•=300 et E=1 T1(t=•)=300,3
T•=300 et E=10 T1(t=•)=302,6
T•=300 et E=100 T1(t=•)=320,
température
temps
Variation des
coefficients
t (T1) = E - c1 (T1 -T•)1/4(T1 -T•) - c2 (T14 -T•4)
c1= 1.566 et c2=0.8 10-8, E=10, T•=300K T1(t=0)=287K T1(t=•)=303.3K
c1= 1.566 et c2=1.6 10-8, E=10, T•=300K T1(t=0)=287K T1(t=•)=302.6K
c1= 1.566 et c2=3.2 10-8, E=10, T•=300K T1(t=0)=287K T1(t=•)=301.8K
température
temps
Incertitude sur les coefficients =>
incertitude sur le résultat final. On constate que si c2 est
surestimé l'augmentation de température parait grande, mais
en fait, la température finale est plus basse!
Limitations par le choix des équations: le modèle suppose que la convection est "laminaire": on aurait donc aussi pu mettre un comportement "turbulent":
= E - c1 (T1 -T•)1/3(T1 -T•) - c2 (T14 -T•4)
température
temps
résolution numérique
Discrétisation pour résolution numérique: t = n Dt
= E - c1 (T1n -T•)1/4(T1n -T•) - c2 ((T1n)4 -T•4)
résultats différents suivant le pas de temps de discrétisation:
évolution avec différents pas de temps Dt
Conclusion
- même un exemple aussi simple n'est pas si simple à résoudre....
- modélisation: choix des phénomènes principaux à résoudre...
- incertitude de la connaissance des coefficients (c1, c2...) .
- limite de calcul des ordinateurs
(influence de Dt)...
Corps noir
Assemblée d'oscillateurs quantifiés (En = (n +1/2)w enfermés dans une cavité qui piège l'énergie.
la
probalité d'occuper l'état d'énergie En
est proportionnelle à e-En/kT
par fréquence w, l'énergie moyenne des modes contenus dans l'intervalle dw et par unité de volume:
u(w)dw =
L'énergie totale est la somme sur toutes les fréquences:
ER=T4, on pose s== 5,67 10-8 SI
Energie rayonnée par le soleil E0 = sTs4, le flux reçu par la terre vue qui voit sous un angle de q le soleil, soit un angle solide de
W = 2 p(1-cos(q/2)) ~ p q2/4, est donc: Ps = p q2/4sTs4
L'effet est fondé sur la différence d'absorption de l'atmosphère :
- pour les l<l0 l'atmosphère est transparente au rayonnement solaire, le taux d'absorption est ab~0, celui de transmission est tb ~ 0.95
- pour les l>l0 l'atmosphère est absorbante ah~0.6
* la terre reçoit e sTa4 où e est l'émissivité de l'atmosphère:
* la terre rayonne comme un corps noir, elle perd s Tt4
* les échanges convectifs sont modélisés par - h (Tt -Ta)
= tb Ps - h (Tt -Ta) + e sTa4 - s Tt4
Bilan pour l'atmosphère
* l'atmosphère absorbe abPs qui est très faible
* elle absorbe ah s Tt4 du rayonnement de la terre
* l'atmosphère émet vers la terre et vers l'espace e sTa4 (e émissivité), elle perd 2e sTa4
* les échanges convectifs sont modélisés par + h (Tt -Ta)
= abPs + ah s Tt4 + h (Tt -Ta) - 2 e sTa4
solution numérique
ab~0 et tb~1, on pose H=h/s
le système final est
0 = T04 - H (Tt -Ta) + e Ta4 - Tt4
0 = ah Tt4 + H (Tt -Ta) - 2 e Ta4
Ta(ah) et Tt(ah)
ah
exemple de résolution T0=300 H=10000000 e=.1
ah représente l'absorption de l'énergie lumineuse émise par la terre.
Plus ah
augmente, plus la température de la terre et la température
de l'atmosphère augmentent.
PYL