Instabilités d'Interfaces

Contexte Scientifique

        Initialement stimulé par les recherches effectuées au LMM sur le phénomène de digitation lors d'impacts de gouttes, j'ai entrepris depuis 7 ans un travail sur les instabilités d'interfaces sous accélération (Richtmyer-Meshkov (RM) et Rayleigh-Taylor (RT)), en collaboration avec Stéphane Zaleski et Christophe Josserand de l'équipe FCIH. RT est l’instabilité responsable du renversement d’un empilement de fluides de masses volumiques différentes dont le plus lourd se trouve en haut (comme de l’eau sur de l’huile par exemple). RM est l'instabilité responsable de la croissance des déformations d'une interface lorsque celle-ci est traversée par une onde de choc. Dans sa version incompressible, elle correspond à l'évolution d'une interface entre deux fluides de masses volumiques différentes brusquement accélérés pendant un temps très court (de manière impulsive). C’est le mécanisme qui survient lorsque, par exemple, une vague rencontre brusquement une jetée et se dresse sous l’impact, ou lorsqu’une goutte de liquide subit un impact contre une paroi solide et forme une couronne de très petites gouttelettes (prompt splash). On peut donc voir RM comme un cas particulier de RT, dans laquelle la gravité apparente à laquelle est soumis l’empilement de fluides serait impulsive et non constante. RT et RM peuvent être considérés comme les deux cas extrêmes d’une famille plus vaste d’instabilités que l’on peut nommer Instabilités de Rayleigh-Taylor sous Accélération Variable, famille qui fait l’objet de mes travaux.

Recherche au LMM

Volet Théorique et Numérique

        Une première série d’études a été développée sur l’instabilité RM. Cette instabilité a la particularité de ne pas avoir de mécanisme de sélection intrinsèque. Quelle que soit la direction de l'accélération (du fluide lourd vers le léger ou le contraire), toute perturbation initiale de l'interface grossit. Plusieurs phénomènes vont cependant ralentir peu à peu cette croissance, jusqu'à la stopper, agissant avec d'autant plus de force que la perturbation est petite : la tension de surface, la viscosité et les couplages non linéaires de la perturbation avec elle-même. Ainsi, la sélection de modes dans l'instabilité RM est en quelque sorte temporelle : plus on observe l'interface longtemps après l'impulsion, plus ce sont les grosses perturbations qui dominent. Pour prendre en compte simultanément les trois mécanismes impliqués, une modélisation asymptotique des équations de Navier-Stokes bidimensionnelles incompressibles a été entreprise. Ce travail de modélisation a permis le développement d'un modèle analytique prédisant la dynamique de déformation faiblement non linéaire d'une interface sous l'effet de l'instabilité RM. Ces prédictions ont été comparées avec succès aux simulations numériques effectuées sur le sujet à l'aide des codes du groupe de Stéphane Zaleski (thèse de Stéphane Popinet). Ce modèle est donc le premier à prendre en compte de manière prédictive l'influence de la viscosité sur l'instabilité RM.
L’extension de ce modèle asymptotique au cas de RT a été ensuite effectuée, avec cependant un impact moins significatif : l’instabilité RT étant gouvernée par des lois de croissances plus rapides que l’instabilité RM, les séquences asymptotiques employées s’écartent plus vite de la solution exacte, ce qui limite l’intérêt d’un tel modèle pour RT.
        Je travaille actuellement à la généralisation de ce modèle au cas des fluides miscibles, en exploitant l’analogie formelle existant entre phénomènes de diffusion visqueuse et phénomènes de diffusion de masse. En parallèle, une action est entreprise pour prolonger la validité en temps des séquences asymptotiques, au travers de méthodes à échelles multiples (et ainsi rendre le modèle opérationnel pour RT comme pour RM).


            Déformation d'interface et champ de vitesse prédits
           par la solution asymptotique pour une instabilité RM
                      entre de l'air (en haut) et de l'eau (en bas)

Volet Expérimental

En parallèle de ce travail théorique, j’ai initié depuis 2004 le développement d’une expérience en collaboration avec l’équipe de Charles Rosenblatt de l’université Case Western Reserve de Cleveland. L’idée proposée est d’exploiter la lévitation magnétique (technique qui fait partie des spécialités de cette équipe) afin de réaliser des empilements arbitraires de fluides lourds sur légers, sans soucis de leur instabilité. La variation rapide du champ magnétique permet ensuite d’imposer à ces empilements une gravité apparente arbitraire, et en particulier variable dans le temps. Il devient alors possible d’explorer expérimentalement une vaste gamme de lois d’accélérations, depuis l’accélération constante de RT jusqu’à l’accélération impulsive de RM.
Dans une première étape, nous avons construit une série de cellules de Hele-Shaw dans lesquelles nous avons réalisé un empilement instable de deux fluides de densité différentes (eau et chloroforme), artificiellement stabilisé par la gravité artificielle. L’annulation du champ magnétique a alors permis de déclencher une instabilité de type RT, en maîtrisant parfaitement les conditions initiales associées (problème récurrent de l’expérimentation sur les instabilités gravitationnelles d’interface). Les résultats obtenus ont montré des croissances exponentielles très régulières des modes instables, et ont ainsi donné accès à la relation de dispersion associée à cette croissance. Une exploration paramétrique systématique a été effectué, puis confrontée à un modèle théorique original développé par nos soins pour la circonstance. La confrontation entre théorie et expérience s'est montrée excellente, parmi les meilleurs obtenues actuellement dans des expériences sur RT.
Depuis deux ans, nous poursuivons ces premières mesures selon trois directions : (i) étendre la gamme de paramètres explorée en cellule de Hele-Shaw en changeant de fluides (par exemple en explorant les cas extrêmes de nombres d’Atwood proche de un en faisant léviter de l’eau sur de l’air) ; (ii) étendre ces premières mesures à des cellules de plus grande épaisseur, pour explorer continûment l’instabilité depuis le régime de type Hele-Shaw jusqu’au régime RT pur, en particulier dans son développement fortement non linéaire; (iii) explorer le cas d'empilements instables soumis à des perturbations initiales entièrement contrôlées et pouvant être choisies arbitrairement (crées en modulant spatialement la force magnétique).
Ces premiers travaux sur le régime de RT pur ont été l'origine d'une collaboration  avec l'équipe de Kai Kadau et Berni Alder du Los Alamos National Laboratory (USA), spécialisés dans la simulation par dynamique moléculaire des instabilités d'interfaces (et en particulier de RT).

Ci-dessous peuvent être téléchargés deux exemples de captures expérimentales d'instabilité de RT par lévitation magnétique. La première, en cellule de Hele-Shaw, est observée par simple visualisation directe. La seconde, en cellule épaisse (et donc en régime de RT), est obtenue par plan laser et fluorescence induite :

RT en Hele-Shaw par lévitation magnétique

RT 2D par lévitation magnétique

Collaborateurs au LMM

Coopérations Internationales