Instabilités d'Interfaces
Contexte Scientifique
Initialement stimulé
par les recherches effectuées au LMM sur le
phénomène de digitation lors d'impacts de gouttes, j'ai
entrepris depuis 7 ans un travail sur les instabilités
d'interfaces sous accélération (Richtmyer-Meshkov (RM) et
Rayleigh-Taylor (RT)), en collaboration avec Stéphane
Zaleski et Christophe
Josserand de l'équipe FCIH. RT est
l’instabilité responsable du renversement d’un
empilement de fluides de masses volumiques différentes dont le
plus lourd se trouve en haut (comme de l’eau sur de l’huile
par exemple). RM est l'instabilité responsable de la croissance
des déformations d'une interface lorsque celle-ci est
traversée par une onde de choc. Dans sa version incompressible,
elle correspond à l'évolution d'une interface entre deux
fluides de masses volumiques différentes brusquement
accélérés pendant un temps très court (de
manière impulsive). C’est le mécanisme qui survient
lorsque, par exemple, une vague rencontre brusquement une jetée
et se dresse sous l’impact, ou lorsqu’une goutte de liquide
subit un impact contre une paroi solide et forme une couronne de
très petites gouttelettes (prompt splash). On peut donc voir RM
comme un cas particulier de RT, dans laquelle la gravité
apparente à laquelle est soumis l’empilement de fluides
serait impulsive et non constante. RT et RM peuvent être
considérés comme les deux cas extrêmes d’une
famille plus vaste d’instabilités que l’on peut
nommer Instabilités de Rayleigh-Taylor sous
Accélération Variable, famille qui fait l’objet de
mes travaux.
Recherche au LMM
Volet Théorique et
Numérique
Une première série
d’études a été développée sur
l’instabilité RM. Cette instabilité a la
particularité de ne pas avoir de mécanisme de
sélection intrinsèque. Quelle que soit la direction de
l'accélération (du fluide lourd vers le léger ou
le contraire), toute perturbation initiale de l'interface grossit.
Plusieurs phénomènes vont cependant ralentir peu à
peu cette croissance, jusqu'à la stopper, agissant avec d'autant
plus de force que la perturbation est petite : la tension de surface,
la viscosité et les couplages non linéaires de la
perturbation avec elle-même. Ainsi, la sélection de modes
dans l'instabilité RM est en quelque sorte temporelle : plus on
observe l'interface longtemps après l'impulsion, plus ce sont
les grosses perturbations qui dominent. Pour prendre en compte
simultanément les trois mécanismes impliqués, une
modélisation asymptotique des équations de Navier-Stokes
bidimensionnelles incompressibles a été entreprise. Ce
travail de modélisation a permis le développement d'un
modèle analytique prédisant la dynamique de
déformation faiblement non linéaire d'une interface sous
l'effet de l'instabilité RM. Ces prédictions ont
été comparées avec succès aux simulations
numériques effectuées sur le sujet à l'aide des
codes du groupe de Stéphane Zaleski (thèse de
Stéphane Popinet). Ce modèle est donc le premier à
prendre en compte de manière prédictive l'influence de la
viscosité sur l'instabilité RM.
L’extension de ce modèle asymptotique au cas de RT a
été ensuite effectuée, avec cependant un impact
moins significatif : l’instabilité RT étant
gouvernée par des lois de croissances plus rapides que
l’instabilité RM, les séquences asymptotiques
employées s’écartent plus vite de la solution
exacte, ce qui limite l’intérêt d’un tel
modèle pour RT.
Je travaille actuellement
à la généralisation de ce modèle au cas des
fluides miscibles, en exploitant l’analogie formelle existant
entre phénomènes de diffusion visqueuse et
phénomènes de diffusion de masse. En parallèle,
une action est entreprise pour prolonger la validité en temps
des séquences asymptotiques, au travers de méthodes
à échelles multiples (et ainsi rendre le modèle
opérationnel pour RT comme pour RM).
Déformation d'interface et champ de vitesse prédits
par la solution
asymptotique pour une instabilité RM
entre de l'air (en haut) et de
l'eau (en bas)
Volet Expérimental
En parallèle de ce travail théorique, j’ai
initié depuis 2004 le développement d’une
expérience en collaboration avec l’équipe de
Charles Rosenblatt de l’université Case Western Reserve de
Cleveland. L’idée proposée est d’exploiter la
lévitation magnétique (technique qui fait partie des
spécialités de cette équipe) afin de
réaliser des empilements arbitraires de fluides lourds sur
légers, sans soucis de leur instabilité. La variation
rapide du champ magnétique permet ensuite d’imposer
à ces empilements une gravité apparente arbitraire, et en
particulier variable dans le temps. Il devient alors possible
d’explorer expérimentalement une vaste gamme de lois
d’accélérations, depuis
l’accélération constante de RT jusqu’à
l’accélération impulsive de RM.
Dans une première étape, nous avons construit une
série de cellules de Hele-Shaw dans lesquelles nous avons
réalisé un empilement instable de deux fluides de
densité différentes (eau et chloroforme),
artificiellement stabilisé par la gravité artificielle.
L’annulation du champ magnétique a alors permis de
déclencher une instabilité de type RT, en
maîtrisant parfaitement les conditions initiales associées
(problème récurrent de l’expérimentation sur
les instabilités gravitationnelles d’interface). Les
résultats obtenus ont montré des croissances
exponentielles très régulières des modes
instables, et ont ainsi donné accès à la relation
de dispersion associée à cette croissance. Une
exploration paramétrique systématique a été
effectué, puis confrontée à un modèle
théorique original développé par nos soins pour la
circonstance. La confrontation entre théorie et
expérience s'est montrée excellente, parmi les meilleurs
obtenues actuellement dans des expériences sur RT.
Depuis deux ans, nous poursuivons ces premières mesures selon
trois directions : (i) étendre la gamme de paramètres
explorée en cellule de Hele-Shaw en changeant de fluides (par
exemple en explorant les cas extrêmes de nombres d’Atwood
proche de un en faisant léviter de l’eau sur de
l’air) ; (ii) étendre ces premières mesures
à des cellules de plus grande épaisseur, pour explorer
continûment l’instabilité depuis le régime de
type Hele-Shaw jusqu’au régime RT pur, en particulier dans
son développement fortement non linéaire; (iii) explorer
le cas d'empilements instables soumis à des perturbations
initiales entièrement contrôlées et pouvant
être choisies arbitrairement (crées en modulant
spatialement la force magnétique).
Ces premiers travaux sur le régime de RT pur ont
été l'origine d'une collaboration avec
l'équipe de Kai Kadau et Berni Alder du Los Alamos National
Laboratory (USA), spécialisés dans la simulation par
dynamique moléculaire des instabilités d'interfaces (et
en particulier de RT).
Ci-dessous peuvent être téléchargés deux exemples de captures expérimentales d'instabilité de RT par lévitation magnétique. La première, en cellule de Hele-Shaw, est observée par simple visualisation directe. La seconde, en cellule épaisse (et donc en régime de RT), est obtenue par plan laser et fluorescence induite :
RT en Hele-Shaw par lévitation
magnétique
RT 2D par lévitation
magnétique
Collaborateurs au LMM
Coopérations Internationales