Appariement de deux vortex co-rotatifs :
Caractérisation fine par simulation numérique


 

Le projet que je développe dans le groupe Dynamique des fluides, Instabilités & Turbulence du Laboratoire de Modélisation en Mécanique (Université Paris 6, UMR 7607), en collaboration avec Christophe Josserand et Maurice Rossi, a pour but de caractériser l'appariement de deux vortex co-rotatifs : influence de la viscosité, caractéristiques du tourbillon issu de la fusion.
 
 

En turbulence bidimensionnelle, le processus d'appariement de deux vortex à grand nombre de Reynolds est un mécanisme physique essentiel pour comprendre la cascade inverse. Ce mécanisme de base a été observé expérimentalement [1],[2] et numériquement [3], puis étudié indépendamment [4]. 
 
 

Au stade initial, la dynamique de la paire co-rotative est caractérisée par deux éléments : une rotation d'ensemble qui s'apparente à la dynamique de deux points vortex tournant l'un autour de l'autre à distance quasi-constante L, et une déformation elliptique des contours de vorticité due aux champs de contrainte générés par le premier vortex sur le second (et réciproquement). A ces deux effets, principalement non-visqueux, s'ajoute un accroissement du rayon de chaque vortex, provoqué par la diffusion visqueuse de la vorticité. Ceci se traduit par une croissance du rapport entre le rayon a du vortex et la distance L qui les sépare. Au-delà d'un rapport critique (a/L)c , que des études de divers ordres (numérique [5], stabilité de solutions non-linéaires [6]) ont mis en évidence, une forte interaction se manifeste, et conduit à la fusion des deux vortex. Il apparaît une zone centrale qui concentre les forts gradients et la majeure partie de la vorticité. Autour de cette zone, deux fins filaments sont émis et étirés, s'enroulent en spirale, pour mener finalement à un unique vortex axisymétrique (voir ci-dessous). 
 
 
 
 


 

Simulations pour Re=4000 à t=0, t=3.05, t=7.7, t=10.54, t=72.7





Le but de l'étude est de caractériser finement cette fusion. La configuration initiale consistera en la donnée de deux vortex identiques, situés proches du rapport critique énoncé précédemment et définis par un champ de vorticité gaussien. L'unique paramètre sans dimension sera alors le nombre de Reynolds Re défini comme le rapport entre la circulation d'un des vortex initiaux et la viscosité.


 

La résolution numérique des équations de Navier-Stokes bidimensionnelles sera effectuée par une méthode pseudo-spectrale, développée pour le calcul parallèle. Cette approche parallèle permettra de résoudre des configurations sur des maillages fins, afin de quantifier avec précision les pertes de vorticité au travers de la formation des filaments, puis de leur diffusion. D'autre part, le temps de calcul pour chaque simulation, largement diminué par cette approche, permettra de réaliser une étude paramétrique systématique des différents stades de l'appariement, jusqu'à la fusion complète.
 
 

Ces travaux pourront donner lieu, dans une première étape, à comparaison avec les résultats analytiques proposés par Agullo et Verga [7].
 
 

Dans une seconde étape, nous chercherons à caractériser l'état axisymétrique fusionné. Cet état sera déterminé par un critère sur le champ de vorticité final. Lorsque les deux maxima des gaussiennes de vorticité initiale se rejoindront, nous comparerons le champ de vorticité à une distribution gaussienne. Cette démarche permettra de définir la taille du noyau et son intensité, puis de déterminer un temps caractéristique de fusion qui se devra, pour de grands nombres de Reynolds, d'être faible en comparaison du temps caractéristique de diffusion du système. D'autre part, ce « fit » gaussien, basé sur la vorticité du noyau, permettra de quantifier la perte de vorticité au travers des filaments, simulant l'éjection de ceux-ci, de petite échelle, par des structures d'échelles supérieures.
 
 

Une autre option consistera à utiliser un traceur passif (simulant un colorant), convecté par la dynamique globale de l'écoulement. Ce traceur sera un moyen de visualisation (comme expérimentalement), et permettra de définir le temps de fusion par un critère géométrique portant sur la localisation des colorants liés à chaque vortex. Outre le coté fondamental de cette étude, les résultats permettront de déterminer les propriétés de mélangeurs d'une paire tourbillonnaire, et d'envisager une application directe au mélange par vorticité.
 


 
 
Enfin, les caractéristiques de l'état fusionné permettront l'établissement d'un modèle simple de turbulence bidimensionnelle (voir [8]). La turbulence sera modélisée par l'interaction d'un système discret de vortex schématisé ci-contre. Chaque vortex, gaussien, sera caractérisé par la taille de son noyau et l'intensité de ce dernier. L'étude du système dynamique complet sera effectuée par une approche qui tiendra compte des interactions entre vortex, et des déformations elliptiques des contours de vorticité de chacun d'entre eux. L'appariement sera déterminé par un critère de fusion (voir [6]). Le vortex résultant de chaque appariement possèdera alors ses caractéristiques propres, données par les résultats de l'étude précédente. Ce modèle permettra de prendre en compte l'ensemble des mécanismes de base de la turbulence bidimensionnelle. Il sera alors possible de chercher à en caractériser ses invariants (énergie totale, circulation).

Références

 
[1] Y. Couder, J. M. Chomaz, and M. Rabaud, On the Hydrodynamics of Soap Films, Physica D 37, 384 (1989).
[2] P. Tabeling, S. Burkhart, O. Cardoso, and H. Willaime, Experimental Study of Freely Decaying Two-dimensional Turbulence, Phys. Rev. Lett. 67, 3372 (1991).
[3] J. Jimenez, H. K. Moffat, and C. Vasco, The Structure of the Vortices in Freely Decaying Two-dimensional Turbulence, J. Fluid Mech. 313, 209 (1996).
[4] P. Meunier and T. Leweke, Merging and Three-dimensional Instability in a Corotating Vortex Pair, in "Vortex Structure and Dynamics", edited by A. Maurel and P. Petitjeans, Lecture Notes in Physics 555, pp. 241-251, Springer Verlag (2000).
[5] S. Le Dizès and A. Verga, Viscous Interactions of Two Co-rotating Vortices Before Merging, under consideration for publication in J. Fluid Mech. 
[6] U. Ehrenstein and M. Rossi, Equilibria of Corotating Nonuniform Vortices, Phys. Fluids 11, 3416 (1999). 
[7] O. Agullo and A. D. Verga, Exact Two Vortices Solution of Navier-Stokes Equations, Phys. Rev. Lett. 78, 2361 (1997). 
[8] G. F. Carnevale, J. C. McWilliams, Y. Pomeau, J. B. Weiss and W. R. Young, Evolution of Vortex Statistics in Two-Dimensional Turbulence, Phys. Rev. Lett. 66, 2735 (1991).